MONOGRAFIA

  

CAPÍTULO I:

ASPECTOS GENERALES.

1.1.      Conceptualización de Enseñanza.

La enseñanza se basa en transmitir distintos conocimientos o saberes, favorecer el desarrollo de una capacidad, corregir y apuntalar una habilidad, y guiar una práctica; responde a intenciones, es decir, es una acción voluntaria y conscientemente dirigida para que alguien aprenda algo que no puede aprender solo, de modo espontáneo o por sus propios medios. Estas intenciones son de doble vía, es decir quien enseña desea hacerlo y quienes aprenden desean aprender. Cuando una persona aprende sola, sin que exista la intención voluntaria y consciente de otro por enseñarle , este hecho deja de ser enseñanza debido a que esa persona aprende algo por medio de la imitación de un ejemplo adulto o repitiendo lo que hacen los otros, esto se llama aprendizaje social o socialización.

 El saber que se busca transmitir tiene que ser culturalmente valido, socialmente justo y éticamente valioso, es decir que enseñar consiste en la transmisión cultural con intenciones sociales y opciones de valor. La dimensión socio-política de la enseñanza consiste en una democratización del saber, es decir poniendo a este al servicio de los otros individuos y así poder lograr una ampliación de la conciencia, es por esto que sus fundamentos y resultados, en otros términos no permanecen restringidos a la pequeña esfera interpersonal, sino que puede habilitar mayores grados de conciencia acerca del mundo, de este modo la enseñanza puede, agrandar la comprensión de la naturaleza y de la sociedad de quienes aprenden.

1.1.1. La Enseñanza como Acción Intencional de Transmisión Cultural.

Un maestro enseña leer, a escribir, a contar; los padres corrigen a sus hijos en las formas de hablar y relacionarse; un profesor conduce a un grupo de alumnos para alcanzar la comprensión de un problema y desarrollar capacidades de pensamiento; un equipo de profesionales experimentados guía a los más jóvenes en el aprendizaje de la profesión; una persona orienta las acciones de otra conforme a valores éticos.

Revisando estas prácticas (y una innumerable lista de situaciones), podremos observar que la enseñanza implica:

· Transmitir un conocimiento o un saber.

· Favorecer el desarrollo de una capacidad.

· Corregir y apuntalar una habilidad.

· Guiar una práctica.

Pero la intencionalidad de la enseñanza no se restringe a lograr que otros aprendan. Más allá del resultado de aprendizaje en sí, quienes enseñan buscan transmitir un saber o una práctica considerada culturalmente válida, socialmente justa y éticamente valiosa. En otras palabras, enseñar es un acto de transmisión cultural con intenciones sociales y opciones de valor.

En este sentido, Fenstermacher[1] (1989) distingue analíticamente la enseñanza "con éxito", con logro de resultados de aprendizaje, la "buena enseñanza", sustentada en valores éticos y en la validez de aquello que se enseña. Cuando las prácticas de enseñar se transforman en actos de rutina, no es frecuente que se analice este otro grupo de intenciones. "Esto que enseño (y la forma en que lo enseñó), ¿es válido?, ¿ayuda a las personas en su desarrollo?, ¿es éticamente sostenible?" La débil consideración de estas intenciones produce, no pocas veces, una contradicción entre los “propósitos declarativos" y las prácticas: enseñar saberes o prácticas que ya han sido superados por el desarrollo del conocimiento, afianzar comportamientos sociales que ya nada tienen que ver con las prácticas en la sociedad, enseñar de manera autoritaria, mecánica o memorística, cuando se declara que se aspira a formar ciudadanos conscientes.

En sentido de síntesis, la enseñanza debería considerar ambas dimensiones: promover resultados de aprendizaje y transmitir conocimientos, habilidades, capacidades y modos de relación considerados válidos y éticamente sostenibles.

La enseñanza puede, así, ensanchar la comprensión de la naturaleza y de la sociedad de quienes aprenden. Vista desde este ángulo, la enseñanza en las escuelas debería constituirse en una gran distribuidora del conocimiento a individuos y grupos sociales, generando espacios de participación en el mundo social y de la cultura.

Con esta dirección, es necesario incluir la dimensión socio-política de la enseñanza. Aunque la acción de enseñar se desarrolle en un espacio acotado entre dos o más personas, implica un acto de democratización de un saber, poniéndolo al servicio de los otros, y de ampliación de la conciencia.

1.1.2. La Enseñanza como Mediación Social y Pedagógica.

La mediación social consiste en que quienes aprenden adquieran las herramientas culturales (ej. El lenguaje) y amplíen sus conocimientos, habilidades y desempeños, es decir, que desarrollen sus potencialidades y capacidades individuales, sociales y culturales. La mediación pedagógica es fértil para comprender que quien enseña no es el centro del proceso de enseñar, quienes enseñan son efectivamente mediadores entre el contenido cultural a transmitir y las características de los sujetos que aprenden y del contexto particular. En las escuelas, el docente es un mediador entre los conocimientos y los alumnos, adecuando sus propuestas a las capacidades, los intereses y las necesidades del grupo en particular y a las características del contexto socio-cultural específico.

Existen distintas vinculaciones las cuales requieren de la mediación pedagógica del profesor para:

· Vincular los contenidos generales que se esperan enseñar con las necesidades, la idiosincrasia y la cultura del grupo en particular.

· Proponer actividades, discusiones, profundizaciones, ejercicios que favorezcan el tratamiento de los temas considerando las características, los intereses y la cultura de los alumnos.

· Favorecer el intercambio entre los alumnos a partir de sus expectativas y concepciones.

· Ampliar el conocimiento y las perspectivas particulares, brindando nuevas informaciones y comunicando otros puntos de vista y experiencias.

· Vincular la enseñanza al contexto particular y a las situaciones específicas.

1.1.3. La Enseñanza como Sistema de Relaciones e Interacciones.

La relación que caracteriza la enseñanza implica, entonces, a determinados actores (quienes enseñan y quienes aprenden) y componentes involucrados en una dinámica particular, en la que las características y acciones de cada parte del sistema mantienen una interdependencia recíproca. Los actores y componentes centrales de esta práctica, tanto en sus objetivos (visibles) como subjetivos (pensamientos y disposiciones internas), son:

· Alguien que enseña, que conoce lo que enseña y que tiene confianza en la Posibilidad de aprender de los otros.

· Alguien que acepta participar de la enseñanza.

· Una "materia" o contenido que se busca enseñar, considerado valido y valioso de ser aprendido.

· Un ambiente que facilite el desarrollo de la enseñanza y del aprendizaje.

La noción de regulación es fértil para comprender que estos actores y estos componentes mantienen relaciones dinámicas y mutuamente influyentes. La regulación implica el permanente ajuste e influencia de cada parte, no solo los aspectos visibles sino también las intenciones educativas y las disposiciones internas. Así, el sistema se desarrolla en permanente equilibrio dinámico. Quienes aprenden delinean, también, el curso de las interacciones, ya sea desde su disposición afectiva, ya sea desde sus intereses, desde sus capacidades previas, orientando en buena medida el curso del proceso. Las interacciones entre los actores no son azarosas sino reguladas, conforme al ajuste de intercambios entre los miembros, a un orden de acciones y a reglas dinámicas de juego en torno a las actividades y a los propósitos que se persiguen.

1.1.4. La Enseñanza como una Secuencia Metódica de Acciones.

La enseñanza es una forma específica de relación entre las personas. Como acción intencional, la enseñanza busca el logro de resultados de aprendizaje. La enseñanza no es algo que ocurra de modo espontaneo ni presenta una acción puntual. Implica una actividad sistemática y metódica, con fases a lo largo de un tiempo.

La enseñanza implica un tiempo y un proceso, sigue una lógica y se conforma por una serie de etapas. En la enseñanza familiar, un adulto enseña a un niño de forma gradual según las capacidades previas del niño. En la enseñanza escolar o en la académica, los contenidos o la materia de la enseñanza son más diversificados y complejos, por lo cual la enseñanza será organizada y conducida de modo más metódico. Los pasos formales orientaron por décadas el accionar de los maestros y profesores.

Hoy sabemos que, en verdad, estos "pasos" son muy variables, según sean los propósitos de la enseñanza, el contenido, las características de los alumnos o del grupo, el contexto o ambiente. La secuencia metódica no debe ser entendida como un reglamento o código rígido, sino como un marco de actuación básico, de ordenamiento lógico y pedagógico, pero flexible y adecuado a las características de los alumnos y a la dinámica del proceso en el contexto particular.

1.1.5. Enseñanza y Aprendizaje: Práctica Metódica de Resultados Abiertos.

La enseñanza busca promover el aprendizaje, sin embargo no existe una relación lineal o de "causa y efecto" entre ambos polos de esta relación. No toda enseñanza logra el resultado de aprendizaje que persigue a todos y cada uno de los aprendices. Quienes creen en los efectos fijos o totalmente previsibles y se encuentran con esta diversidad, suelen hablar de "resultados no previstos" de la enseñanza. Aunque el proceso de enseñanza este bien organizado, los resultados de aprendizaje pueden variar de modo significativo entre un alumno y otro, entre un grupo y otros. Mientras que la enseñanza es conducida por quien enseña, el aprendizaje incluye toda una gama de relaciones e interacción entre las personas y dentro del grupo.

Los intercambios grupales enriquecen y potencian el aprendizaje, pero también pueden obstaculizarlo o llevarlo en otra dirección. Mirando la cuestión desde otra óptica, el reconocimiento de la diversidad de resultados de aprendizaje no debe ser entendido como una debilidad o limitación de la enseñanza, sino como una fortaleza. Ella muestra que existe un amplio espacio de posibilidades para enseñar, orientadas por el profesor y enriquecidas por los alumnos. Para lograr buenos resultados hay que considerar las siguientes acciones:

· Guiar y apoyar a los alumnos para que trabajen y piensen por sí mismos.

· Ayudar a problematizar los contenidos que se abordan.

· Promover el intercambio entre los estudiantes y el trabajo cooperativo.

· Favorecer la participación en diversas actividades.

· Facilitar que los estudiantes puedan participar de la planificación de sus actividades de aprendizaje y de la valoración sus progresos.

· Habilitar y estimular el proceso de transferencia de los aprendizajes de las prácticas, en el contexto particular en el que se encuentran.

1.1.6. Orientaciones de la Enseñanza.

§  La enseñanza entendida como instrucción: Destaca la mediación del adulto o profesor como transmisor de un conocimiento o modelizador de una práctica.

§  La enseñanza entendida como una guía: Destaca la guía sistemática y metódica por parte del adulto o profesor y el papel central de la actividad de quienes aprenden, a través de la observación directa de fenómenos, la búsqueda y la indignación activa, la resolución de problemas, la reflexión activa y la inventiva.

Estas dos grandes concepciones no deben ser comprendidas como modelos rígidos, fijos o cerrados en sí mismos. En la realidad las prácticas de enseñanza no adoptan rígidamente uno y solo uno de estos grandes enfoques. En su lugar, asumen una orientación general en un momento dado o con mayor énfasis, pero integrando momentos de la otra orientación en la secuencia metódica de enseñanza.

§  La enseñanza siempre implica intenciones de transmisión cultural de una muy variada gama de contenidos y del desarrollo de diversas capacidades en quienes aprenden.

§  La enseñanza implica necesariamente la propuesta de una secuencia metódica de acciones, sea con mayor orientación hacia la instrucción o hacia la guía, en la que quienes aprenden puedan elaborar su aprendizaje, a través de la reflexión interna o en la actividad participativa.

Cualquiera sea la decisión de quienes enseñan, esta deberá contemplar la coordinación de un sistema de relaciones reguladas entre quienes aprende, quienes enseñan, los contenidos que se enseñan y el ambiente.

 Sea como instrucción o como guía, la enseñanza siempre tiene implícita la dinámica entre autoridad y autonomía, y sus resultados son previsibles pero variados y abiertos.

Siempre es necesario que quienes enseñan reflexionen sobre estas cuestiones, ampliando la visión y la conciencia en la acción de enseñar, y adoptando decisiones válidas y valiosas en función de una buena enseñanza.[2]

1.2.      Enseñanza de la Matemática en las últimas Décadas.

Tradicionalmente el significado de “Saber Matemática”, en la escuela primaria, estaba basado casi exclusivamente sobre el conocimiento de los algoritmos: dominar las operaciones fundamentales, la regla de tres, etc., junto con ciertos conocimientos memorísticos como sistema métrico decimal, constituían la clave para pasar a niveles superiores. No obstante, cada día es más cierto que la Matemática abarca campos de la actividad humana diversos y muy alejados.

En las últimas décadas se han dado numerosas reformas y cambios en el currículo de la Matemática, pero estos cambios han dependido más de las características y evolución de la propia disciplina que de las necesidades socio – cognitivas del alumno.

Hasta la década de los 60, la enseñanza de la Matemática estaba basada en un modelo algorítmico: Su objetivo era que el alumno memorizara una serie de “técnicas ad hoc”, encaminadas a resolver  problemas básicos desde el punto de vista matemático. Se tenía la idea que aprender Matemática era aprender técnicas para realizar operaciones; la comprensión conceptual, o no se planteaba  o se daba por supuesto que se lograba a través del ejercicio continuado y repetido de tales técnicas.

Pero en los años sesenta se produjo en todo el  mundo occidental grandes cambios curriculares. Dichos cambios se caracterizaron por la introducción de la llamada Matemática moderna, cuyo objetivo era fomentar el razonamiento y la capacidad lógica por encima del “mero calculo” en que se basaban las matemáticas clásicas.

Se pasaba así a un modelo de enseñanza formalista que pretendía enseñar estructuras matemáticas vacías de contenido intuitivo. Durante esa época los contenidos de la teoría de conjuntos y del algebra de Bool (o booliana), llenaron los libros de texto.

La nueva Matemática o la Matemática conjuntista, creada y difundida a principio de siglo por el grupo Bourbaki, reinterpretaba las teorías matemáticas existentes, desde un nuevo modelo más potente y globalizador. Los diversos contenidos matemáticos podían ser formalizados a partir de una estructura común.

Sin embargo, la introducción de la Matemática moderna no fue nunca bien recibida ni comprendida por los docentes. La “reforma” se limito a cambiar unos contenidos por otros o, la mayoría de las veces, a añadir los nuevos contenidos a los clásicos, con la consecuente sobrecarga de los programas. Las criticas de enseñantes, matemáticos y psicólogos no se hicieron esperar, y progresivamente la matemática moderna fue desapareciendo de los currículos, acusada fundamentalmente de excesivo formalismo y falta de aplicación real.

Consecuentemente, como reacción a este excesivo formalismo, a principios de los ochenta, surgió una tendencia que promulgaba enseñar una Matemática más ligada a la realidad ambiental y a la solución de problemas reales y concretos.

La resolución de problemas ha sido el eje alrededor del cual ha girado la enseñanza de las matemáticas en la década de los ochenta, y en este sentido se orienta las recomendaciones de diferentes documentos elaborados por las principales asociaciones mundiales para la enseñanza de las matemáticas (National Council of Teachers of Mathematics, 1975 y 1980; International Conference For Mathematic Instruction, 1987).

La creciente complejidad y tecnificación de la sociedad actual, la presencia de potentes computadoras que realizan rápidamente complicados cálculos, la interrelación entre las diferentes ciencias, que exigen un trabajo coordinado e interdisciplinar, etc., están llevando a matemáticos y profesores a una profunda reflexión sobre cuál es el tipo de Matemática que se deberá enseñar.

Sin duda, el concepto de utilidad de la Matemática está cambiando. Su objetivo ya no puede ser la de enseñar a razonar o el de enseñar un riguroso método deductivo encaminado a validar las propias teorías matemáticas, si no el de ser instrumento de conocimiento y transformación de la realidad. Desde esta perspectiva debe entenderse el movimiento de las “matemáticas para todos”, o la creciente importancia de las llamadas etno – matemáticas, que se oriente hacia la búsqueda y la enseñanza de actividades ligadas a la vida cotidiana.

No obstante, hay que preguntarse si este nuevo enfoque no incurrirá, una vez más, en los mismos errores que llevaron al fracaso, tanto a las matemáticas clásicas como a las modernas.

En efecto, esta rápida visión de los sucesivos cambios curriculares lleva a preguntarse si no se trata de un continuo cambio de contenidos y objetivos, sin que simultáneamente se produzcan un verdadero cambio metodológico y conceptual.

De una enseñanza basada en un modelo algorítmico, se paso a una enseñanza basada en un modelo estructural, y ahora, de nuevo, se propone un modelo algorítmico (resolución de problemas), si bien, y esto es importante, acompañado de una perspectiva utilitaria, tecnología e interdisciplinar y de la existencia en la necesidad de comprensión de los conceptos matemáticos.

Los cambios curriculares descritos han venido siempre mas determinados por las reflexiones epistemológicas de los propios matemáticos y filósofos y las nuevas aportaciones o descubrimientos de la Matemática misma, que por razonamientos sicopedagógicos sobre los procesos de enseñanza – aprendizaje.

Tanto si se trata de una enseñanza algorítmica como si es estructural, el problema fundamental es que la enseñanza de las matemáticas ha sido básicamente formalista. La manipulación de signos y la primacía de los aspectos puramente sintácticos sobre los semánticos, han sido una constante.

La matemática es una ciencia fundamental para la formación de las personas. Se utiliza en todas las actividades cotidianas, y además es auxiliar para prácticamente todas las demás. Por otro lado, no es una ciencia cerrada, acabada. Los frecuentes avances en la frontera de la física y el desarrollo mismo de la Matemática llevan a que el docente deba estar permanentemente preocupado en su actualización.[3]

CAPÍTULO II:

ENSEÑANZA TEÓRICO-PRÁCTICO DE LA MATEMÁTICA.

     2.1. Planteamientos Actuales de las Matemáticas en la Educación Primaria.

Todas las personas no manifiestan las mismas actitudes hacia las matematicas.es una materia que ha despertado sentimientos encontrados, casi siempre vinculados a las situaciones vividas en la edad escolar. Por una parte, hay quienes las relacionan con una fuerte sensación de fracaso y presentan hacia ellas una mezcla de respeto y aversión. Otras personas, sin embargo, han tenido vivencias atractivas y gratificantes, lo que ha favorecido en ellas una actitud positiva hacia esta materia. Aunque en el currículo escolar las matemáticas son tratadas como una asignatura más, existe una gran presión por parte de todos los sectores implicados en la vida escolar (profesorado, padres, etc.) para que los niños destaquen en ellas. La importancia que se da a las matemáticas ha hecho que cuando un alumno fracasa u obtiene bajas calificaciones se exprese un mayor malestar por parte de profesores y padres. La opinión de que existe una relación directa entre el éxito de las matemáticas y la inteligencia, es una buena medida responsable de estas expresiones.

Sin embargo, en nuestro entorno hallamos personas que nunca han ido a la escuela y realizan muy bien tareas como vender en mercados y averiguar los precios de varias cantidades, confeccionar prendas de vestir, etc. Pero también es frecuente encontrar niños que terminan la Educación Primaria sin saber interpretar sencillos gráficos, utilizar correctamente el dinero cuando compran, o resolver una simple situación problemática de la vida real; diríamos que  no saben aplicar las matemáticas que supuestamente han aprendido en la escuela.

2.1.1.  El Conocimiento Matemático a partir de la LOGSE. Lo que Debe Ser.

Con la aplicación y aprobación de la LOGSE cambia la orientación del área de matemáticas.

A la luz de los planteamientos epistemológicos se consideran las matemáticas como un saber que se construye en el que la formalización es un objetivo final y no un punto de partida. Es decir, hay una diferenciación entre el carácter del saber matemático y la forma en la que ha de ser adquirido, estos no tienen que ir en paralelo. Desde un principio se admite que ciertos conocimientos matemáticos pueden ser adquiridos sin que sea necesario conocer previamente su estructuración formalizada. En palabras del Diseño Curricular “el proceso de construcción del conocimiento matemático debe utilizar como punto de partida la propia experiencia práctica de los alumnos”. Este presupuesto, junto a la voluntad de desacralizar las matemáticas, son los aspectos en los que se sustenta el planteamiento de la enseñanza de esta materia. Es decir, los puntos de partida sobre los que se articulan las matemáticas en el Nuevo Sistema Educativo son: el carácter constructivo del saber matemático y su capacidad de herramienta de uso general.

Las matemáticas son un conjunto de conocimientos en evolución continua, en permanente desarrollo y cambio. No es un saber cerrado, está abierto a innovaciones. Por otro lado se insiste en su naturaleza dual, explicando que las matemáticas no se agotan en su carácter de ciencia exacta sino que también tienen un valor funcional como herramienta para aprehender de manera aproximada a la realidad.

Se insiste también en que hay que favorecer  las actitudes positivas de los alumnos ante esta materia, hacerles ver que los conceptos y procedimientos matemáticos estarán a su alcance precisamente por su relación con el conocimiento del entorno inmediato.

2.1.2. Los Contenidos.

Las matemáticas son un poderoso instrumento de comunicación, con el que se puede representar, explicar y predecir la realidad de forma precisa y sin ambigüedades.

Los puntos más importantes para seleccionar y organizar los contenidos matemáticos son:

A.   su estructura interna particularmente rica y coherente,

B.   la existencia de estrategias o procedimientos generales que permiten abordar una misma situación desde ópticas especificas diferentes y diferentes situaciones desde una misma óptica.

El Diseño Curricular Base (DCB) (1989) contempla cinco bloques de contenidos. En cada bloque se especifican hechos, conceptos y principios; procedimientos; actitudes, valores. Los bloques de contenido son los siguientes:

1.    Números y operaciones: significado y estrategias.

2.    La medida; información cuantitativa sobre los objetos y el tiempo.

3.    Orientación y representación en el espacio.

4.    Las formas en el espacio. En la clase interrelacionados y nunca disociados entre si, porque el aprendizaje de unos incide, perfecciona y complementa el de los otros.

5.    Organizar la información: gráficos e iniciación a la estadística.

Posteriormente en la Cajas Rojas (1992) aparecen cuatro bloques de contenidos matemáticos, ya que el tercero y el cuarto del DCB aparecen unificados:

1.    Números y operaciones

2.    La medida

3.    Formas geométricas y situaciones en el espacio

4.    Organización de la información

Los contenidos de los distintos bloques deberán presentarse en la clase interrelacionados y nunca disociados entre sí, porque el aprendizaje de unos incide, perfecciona y complementa el de los otros. El planteamiento de los contenidos será de forma cíclica en diversos niveles de complejidad creciente y los contenidos que se contemplan en un primer nivel serán los previos para niveles siguientes.

2.1.3. Aspectos Matemáticos que merecen un Tratamiento Especial.

Hay un conjunto de aspectos sobresalientes del conocimiento matemático que han estado en un segundo plano hasta ahora y otros que tienen un carácter novedoso y que merecen un tratamiento especial dentro de la matemática. Estos aspectos son: el cálculo mental, el lenguaje, la estimación, la resolución de problemas, la geometría y el uso de la calculadora[4].

En el área de matemáticas de las Caja Rojas (1992) aparece un aspecto más: el azar y la probabilidad.

El cálculo mental, que ha estado olvidado en Primaria durante bastantes años, cobra una gran importancia dado que la mayor parte de las operaciones que se necesitan en la vida diaria se hacen mentalmente. El cálculo mental, además, tiene otra ventaja, y es que favorece el desarrollo de las capacidades propias de esta etapa, como son: la concentración, la atención, el interés, y la reflexión para elegir y decidir; la autoafirmación y la confianza en sí mismo, la flexibilidad en la búsqueda de soluciones; la capacidad para relacionar, comparar y seleccionar.

El lenguaje juega un papel muy importante en la adquisición del conocimiento matemático. El niño transforma y construye su conocimiento en interacción con el grupo clase, es decir, con su maestro y los compañeros.” A través de las actividades y de las discusiones en matemáticas se va desarrollando la comprensión de expresión y términos de este tipo, y se va progresando en el desarrollo del lenguaje matemático en la etapa, enriqueciendo así su lenguaje habitual”.[5]

La práctica habitual de las escuelas ha sido trabajar los aspectos referentes a la exactitud en matemáticas. Pero en la vida cotidiana gran parte de los problemas se resuelven haciendo estimaciones, por ejemplo, tardare en llegar unos quince minutos. Aun siendo muy importante la búsqueda de la exactitud, es útil desarrollar la capacidad de estimar. Si la estimación es inherente a la solución de problemas de la vida cotidiana, ¿Por qué la escuela, que no es algo marginal en la vida del niño, no va a fomentar su uso?.

Además la estimación está muy relacionada con el cálculo, la resolución de problemas y, sobre todo, con el concepto de medida. Es importante desarrollarla si no se realizan previa y paralelamente mediciones de objetos reales. De esta forma el error cometido disminuye con el número de estimaciones realizadas. Es necesario trabajar la estimación desde los primeros niveles, por lo que hay que habituar al niño a estimar resultados en los problemas antes de calcularlos y a comprobar la congruencia de los resultados después de resueltos.

Según el DCB, la resolución de problemas es un medio de aprendizaje que da sentido aplicativo al área y permite la interrelación entre los distintos bloques y las restantes áreas. Por todo esto es un contenido prioritario dentro del currículo de matemáticas.

A la luz de estos planteamientos se considera la resolución activa de problemas como el método más conveniente de aprender matemáticas y propone que los problemas seleccionados en la escuela se extraigan de situaciones que partan de la realidad de los alumnos. También específica que la dificultad que puede suponer para los alumnos la resolución de problemas radica, en general, en unos planteamientos metodológicos  argumentan diciendo que los alumnos han de desarrollar y perfeccionar sus propias estrategias a medida que adquieren otras más generales y especificas. En cuanto a la motivación, propone que los enunciados de los problemas sean sencillos, tomados de diferentes situaciones y contextos para que faciliten la adquisición de los contenidos.

La geometría también ha sido olvidada en el currículo de Educación Primaria y en el mejor de los casos ha sido mal tratada en estos niveles. No obstante, el entorno del niño está lleno de formas geométricas: en su casa, en la escuela y en otros espacios en los que se mueve hay multitud de objetos con formas geométricas, sus juegos están relacionados con figuras y cuerpos geométricos, etc. Por lo tanto, los contenidos geométricos han de tratarse desde el comienzo de la etapa aprovechando la curiosidad del niño por descubrir los objetos  que le rodean y las relaciones que se establecen entre ellos.

Otro aspecto que ha ser tratado desde los primeros ciclos son los conceptos de azar y probabilidad. Los alumnos “ya pueden apreciar el carácter aleatorio de un suceso mediante la observación de fenómenos de la vida cotidiana. Igualmente, los niños pueden decidir de forma sencilla e impresa el grado de probabilidad de un suceso”.

Por último, cobra gran importancia el uso de la calculadora. Desterrada hasta ahora de las aulas por gran parte de los profesores, su empleo puede considerarse como un instrumento de cálculo que mejora la enseñanza actual de las matemáticas y que abre nuevas posibilidades educativas. El aprendizaje, para un uso valido de la calculadora, no puede realizarse de forma aislada, los niños deben usar razonablemente esta máquina cuando convenga hacerlo, dentro de un contexto adecuado, al servicio del aprendizaje de estrategias y favoreciendo en el alumnado el aprender a pensar.[6]

DEBERIA SER	ES
Conocimiento dinámico       Saber que se construye       Herramienta para la vida cotidiana	Conocimiento estático       Saber prefijado       Matemática para la escuela
COBRA IMPORTANCIA	SE HACE
El calculo        mental       Lenguaje e interacción con los compañeros. Lenguaje matemático.       La estimación       La resolución de problemas       La geometría       El azar y la probabilidad	Largas paginas para mecanizar operaciones       Aprendizaje en solitario, con el libro de texto.       La exactitud       Realización de ejercicios       Se pasa la geometría para terminar la aritmética       Solo cuando hay tiempo. Se lleva a cabo con los ejercicios del libro.

Planteamiento de la enseñanza de las matemáticas en Educación Primaria[7]

     2.2. La Enseñanza de la Matemática según el Ministerio de Educación- Rutas de Aprendizaje.

             2.2.1. Desarrollando Escenarios de Aprendizaje.

El desarrollo progresivo de las competencias matemáticas pasa por el desarrollo de las capacidades. Esto supone condiciones adecuadas para que las experiencias de aprendizaje sean dinámicas, es decir, desencadenen diversas acciones y situaciones. Este es el verdadero sentido de una matemática centrada en la resolución de problemas. Por esto es importante reconocer algunos escenarios de aprendizaje, entendiéndolos como complementarios entre sí:

a) Laboratorio matemático

Es donde el estudiante a partir de actividades vivenciales, lúdicas y de experimentación llega a construir conceptos y propiedades matemáticas partiendo de una situación problemática.

b) Taller de matemática

Es donde el estudiante pone en práctica los aprendizajes que ha ido desarrollando en un periodo curricular. En el taller despliegan diversos recursos (técnicos, procedimentales y cognitivos) en la intención de resolver situaciones problemáticas haciendo uso de diversas estrategias de resolución.

c) Proyecto matemático

Hoy se demanda que la matemática se vuelva una práctica social. Por eso se necesita promover espacios donde se propicie el acercamiento a aspectos de la realidad en diversos contextos. Esto supone diseñar un conjunto de actividades para indagar y resolver una situación problemática real, con implicancias sociales, económicas, productivas y científicas.

             2.2.2. La Resolución de Problemas y el Desarrollo de Capacidades.

Un aspecto fundamental que se debe propiciar en el proceso de aprendizaje de la matemática es el desarrollo de capacidades para la resolución de problemas, que implican promover la matematización, representación, comunicación, elaboración de estrategias, utilización del lenguaje matemático y la argumentación, todas ellas necesarias para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

             2.2.3.  El Planteamiento del Problema.

El planteamiento del problema es la etapa en que se identifican las diferentes características de la situación que se necesitan considerar para elegir las actividades matemáticas que nos pueden conducir a su solución. Esta etapa permite introducir tres aspectos importantes a tener en cuenta para seleccionar y caracterizar las tareas matemáticas:

25ANIMALES NÚMERO

 DE ANIMALES

A.   El nivel de razonamiento que exigen las tareas matemáticas. Durante el proceso de aprendizaje, este nivel de exigencia tendrá que evolucionar de menos a más, lo que supondrá un desarrollo cada vez mayor de las capacidades matemáticas de los estudiantes.

B.   Los cambios en el planteamiento del problema arrastran consecuencias en las tareas matemáticas implicadas. Cada nueva característica que se le atribuya o se le suprima, puede suponer exigencias de razonamiento distintas y tareas diferentes para su resolución.

C.   Las tareas matemáticas, que se deducen del planteamiento del problema deberían:

• Permitir a los estudiantes pensar sobre las situaciones problemáticas, más que recordar artificios o artimañas matemáticos.

• Reflejar ideas matemáticas importantes y no solo hechos y procedimientos.

• Permitir a los estudiantes usar sus conocimientos previos.

             2.2.4. Características Relevantes de las Situaciones Problemáticas.

A. situaciones problemáticas de contexto real

L as situaciones problemáticas a plantear en clases deben surgir de la propia experiencia del estudiante, considerar datos de la vida real planteados por el mismo alumno.

B. Situaciones problemáticas desafiantes

L as situaciones problemáticas que se plantean a los estudiantes deben ser desafiantes e incitarles a movilizar toda la voluntad, capacidades y actitudes necesarias para resolverlas.

C. Situaciones problemáticas motivadoras

L as situaciones problemáticas que se plantean a los estudiantes deben ser motivadoras, es decir, deben despertar su curiosidad y su deseo de buscar soluciones por sí mismos.

D. Situaciones problemáticas interesantes

Las situaciones problemáticas que se planteen a los estudiantes han de ser interesantes para ellos, a fin de comprometerlos en la búsqueda de su solución.

             2.2.5. La Resolución de Problemas.

La resolución de problemas requiere una serie de herramientas y procedimientos, como interpretar, comprender, analizar, explicar, relacionar, entre otros. Se apela a todos ellos desde el inicio de la tarea matemática, es decir, desde la identificación de la situación problemática hasta su solución.

Es necesario ayudar a los estudiantes a identificar las fases que se requieren hasta la solución, generar un ambiente de confianza y participación en clase, y hacer una evaluación sistemática de sus esfuerzos. No perder de vista que lo principal no es llegar a la “solución correcta”, sino posibilitar el desarrollo de sus propias capacidades matemáticas para resolver problemas.

Las fases que se pueden distinguir para resolver un problema son:

1. Comprender el problema.

2. Diseñar y adaptar una estrategia.

3. Ejecutar la estrategia.

4. Reflexionar sobre el proceso.

v  FASE 1: Comprender el problema

Esta fase está enfocada en la comprensión de la situación planteada. El estudiante debe leer atentamente el problema y ser capaz de expresarlo en sus propias palabras (así utilice un lenguaje poco convencional). Una buena estrategia es hacer que explique a otro compañero de qué trata el problema y qué se está solicitando. O que lo explique sin mencionar números.

El docente debe indicar al estudiante que lea el problema con tranquilidad, sin presiones ni apresuramientos; que juegue con la situación; que ponga ejemplos concretos de cada una de las relaciones que presenta, y que pierda el miedo inicial. También debe tener presente la necesidad de que el alumno llegue a una comprensión profunda (inferencial) de la situación y de lo inútil que para la comprensión resulta repetir el problema, copiarlo o tratar de memorizarlo.

v  FASE 2: Diseñar o adaptar una estrategia de solución.

En esta fase el estudiante comienza a explorar qué caminos puede seguir para resolver el problema. Diseñar una estrategia de solución es pensar en qué razonamientos, cálculos, construcciones o métodos le pueden ayudar para hallar la solución del problema. Dependiendo de la estructura del problema y del estilo de aprendizaje de los estudiantes, podrán elegir la estrategia más conveniente.

Esta es una de las fases más importantes en el proceso de resolución, en la que el estudiante activa sus saberes previos y los relaciona con los elementos del problema para diseñar una estrategia que lo lleve a resolver con éxito el problema. Contar con un buen conjunto de estrategias potencia los conocimientos con los que cuenta el estudiante, por ello debemos asegurarnos de que identifique por lo menos una estrategia de solución.

Entre estas tenemos:

• Hacer la simulación. Consiste en representar el problema de forma vivencial mediante una dramatización o con material concreto y de esa manera hallar la solución.

• Organizar la información mediante diagramas, gráficos, esquemas, tablas, figuras, croquis, para visualizar la situación. En estos diagramas, se deben incorporar los datos relevantes y eliminar la información innecesaria. De esta forma el estudiante podrá visualizar las relaciones entre los elementos que intervienen en un problema.

• Buscar problemas relacionados o parecidos que haya resuelto antes. El niño puede buscar semejanzas con otros problemas, casos, juegos, etc., que ya haya resuelto anteriormente. Se pueden realizar preguntas como: “¿A qué nos recuerda este problema?” o “¿Es como aquella otra situación?”.

• Buscar patrones. Consiste en encontrar regularidades en los datos del problema y usarlas en la solución de problemas.

• Ensayo y error. Consiste en seleccionar algunos valores y probar si alguno puede ser la solución del problema. Si se comprueba que un valor cumple con todas las condiciones del problema, se habrá hallado la solución; de otra forma, se continúa con el proceso.

• Usar analogías. Implica comparar o relacionar los datos o elementos de un problema, generando razonamientos para encontrar la solución por semejanzas.

• Empezar por el final. Esta estrategia se puede aplicar en la resolución de problemas en los que conocemos el resultado final del cual se partirá para hallar el valor inicial.

• Plantear directamente una operación. Esta estrategia se puede aplicar en la resolución de problemas cuya estructura aritmética sea clara o de fácil comprensión para el estudiante.

v  FASE 3: Ejecutar la estrategia

Dentro de un clima de tranquilidad, los estudiantes aplicarán las estrategias o las operaciones aritméticas que decidieron utilizar.

En esta fase el docente debe asegurar que el estudiante:

• Lleve a cabo las mejores ideas que se le han ocurrido en la fase anterior.

• D é su respuesta en una oración completa y no descontextualizada de la situación.

• U se las unidades correctas (metros, nuevos soles, manzanas, etc.).

• Revise y reflexione si su estrategia es adecuada y si tiene lógica.

• Actúe con flexibilidad para cambiar de estrategia cuando sea necesario y sin rendirse fácilmente.

v  FASE 4: Reflexionar sobre lo realizado

Esta etapa es muy importante, pues permite a los estudiantes reflexionar sobre el trabajo realizado y acerca de todo lo que han venido pensando.

Esta fase es propicia para desarrollar las capacidades de comunicar y justificar sus procedimientos y respuestas.

• En esta fase los estudiantes ponen en práctica la estrategia que eligieron.

• El docente estará pendiente del proceso de resolución del problema que siguen los estudiantes y orientará, sobre todo, a quienes lo necesiten.

• Es posible que, al aplicar la estrategia, se dé cuenta de que no es la más adecuada, por lo que tendrá que regresar a la fase anterior y diseñar o adaptar una nueva.

El docente debe propiciar que el estudiante:

• Analice el camino o la estrategia que ha seguido.

• Explique cómo ha llegado a la respuesta.

• Intente resolver el problema de otros modos y reflexione sobre qué estrategias le resultaron más sencillas.

• Formule nuevas preguntas a partir de la situación planteada.

• Pida a otros niños que le expliquen cómo lo resolvieron.

• Cambie la información de la pregunta o que la modifique completamente para ver si la forma de resolver el problema cambia. [8]

      2.3. Investigación sobre la Enseñanza.

GAGE (1963) presentó una amplia reseña de los paradigmas para la investigación sobre la enseñanza en el primer Handbook of Researchon Teaching, compilado bajo su dirección. Revisó una gran cantidad de ejemplos de paradigmas tomados de otras ciencias sociales, que podrían resultar valiosos para los estudios de la enseñanza, y después procedió a examinar los que se habían usado para la investigación sobre la enseñanza en el aula. Sin duda, la fuente más influyente de paradigmas para el estudio de la enseñanza provenía de la psicología, y especialmente de la perspectiva conductista, experimental y funcional de esa disciplina. Gage definió los paradigmas de «criterio de eficacia» que especificaban los criterios para juzgar el éxito con que un docente había realizado sus tareas, y relacionaba ese criterio con una serie de correlatos potenciales para discernir aquellos que estaban más consistente y fuertemente asociados con el logro del criterio Correlatos potenciales  Criterio de eficacia.

Gage distinguió entre varios tipos de criterios de eficacia (y micro criterios, variables, de resultados específicos y no generales) así como también entre varios tipos de modelo. Después examinó los paradigmas del «proceso-de-enseñanza», donde el énfasis de la investigación estaba puesto en caracterizar las conductas observables del profesor y el estudiante en el aula, en tanto que estaban relacionadas con las medidas del desarrollo del alumno. Al resumir los diversos modelos de investigación del proceso de la enseñanza encontró cuatro elementos comunes. Estos eran:

a)    Los procesos perceptuales y cognitivos del enseñante que daban como resultado.

b)    Elementos de acción por parte del profesor.

c)    Los actos del profesor van seguidos de procesos perceptuales y cognitivos por parte del alumno, lo cual a su vez conduce a acciones por parte de los alumnos.

En esta importante y temprana caracterización de los paradigmas de investigación, es de algún modo paradójico que los estados internos cognitivo y afectivo, tanto de los educandos como de los educadores, reciban igual peso que las acciones observables de ambos. A medida que el campo continuaba desarrollándose, declinó el interés por estos estados perceptuales y cognitivos, que se supone producen y son mediadores de la conducta observable. El programa de investigación dominante para el estudio de la enseñanza combinaba un micro criterio de eficacia (rendimiento académico verificado) y correlatos del proceso de enseñanza.

Gage reconoció las limitaciones de estos paradigmas. Comentó la importancia de las aulas como lugares donde los docentes deben tratar con más de un alumno cada vez, hecho a menudo ignorado por los modelos entonces en boga. También observó que la unidad de interacción connotada por aquellos paradigmas era típicamente la «interacción única», ignorando los intercambios mayores y más complejos que constituían las características más importantes del proceso del aula. Por otra parte, era imprescindible iniciar la tarea sumamente dificultosa de estudiar la conducta en clase, y se hacían necesarias una serie de simplificaciones. Esas simplificaciones las proporcionaron los primeros modelos e hicieron posibles los primeros pasos importantes en el desarrollo del campo.

Unos diez años más tarde, en The Study of Teaching, DUNKIN Y BIDDLE (1974) construyeron un modelo para la investigación de la enseñanza basado en una formulación anterior de MITZEL (1960). Ellos planteaban cuatro clases de variables: variables de presagio (características del profesor, experiencias, formación y otras propiedades que influyen sobre la conducta docente); variables de contexto (propiedades de los alumnos, de la escuela y la comunidad y del aula); variables de proceso (acciones observables de profesores y alumnos en el aula); y variables de producto (efectos inmediatos y a largo plazo de la enseñanza sobre el desarrollo del alumno en lo intelectual, lo social, lo emocional, etc.). Aunque es injusto caracterizar con demasiada simplicidad un trabajo tan elaborado y clarividente, su formulación tuvo un enorme impacto en el campo. El énfasis sobre los estudios que vinculan los procesos a los productos no comenzó con las reseñas de estos autores. Pero su libro dio un gran impulso al trabajo sobre el proceso-producto y ayudó a incluirlo en una matriz teórica más amplia. Además, proporcionaron un vocabulario de trabajo para los que los siguieron, e hicieron posible describir lo que se estaba estudiando y cómo se iba progresando. En el apartado siguiente se presentará un modelo más general de investigación sobre la enseñanza, reflejando los cambios ocurridos en el campo, tanto los observados como los necesarios, durante la última década.

Los determinantes potenciales de la enseñanza y el aprendizaje en el aula son los tres atributos significativos de los actores: capacidades, acciones y pensamientos. Las capacidades son las características relativamente estables y duraderas de aptitud, propensión, conocimiento o carácter propios de los actores, y sin embargo, susceptibles de modificación a través del aprendizaje o del desarrollo. Las acciones comprenden las actividades, el rendimiento o la conducta de los actores, los actos de habla o los actos físicos observables de los profesores y de los estudiantes. Los pensamientos son las cogniciones, las meta cogniciones, las emociones y los propósitos: los estados mentales y emocionales tácitos que preceden, acompañan y siguen a las acciones observables, oscureciendo con frecuencia (o reflejando) cambios en las capacidades más duraderas. Tanto los pensamientos como la conducta pueden convertirse en capacidades (bajo la forma, por ejemplo, de conocimiento y hábitos o habilidades). Las actividades de la enseñanza pueden tener lugar dentro de una serie de contextos, «entornos» que definen en parte el medio en el cual se produce la enseñanza: individual, de grupo, la clase, la escuela, la comunidad. Dentro de cada uno de estos niveles colocados uno dentro de otro.

Se producen las dos clases de transacciones que comprende la vida en el aula. Se llevan a cabo dos clases de actuaciones, se negocian dos tipos de currículum. Una de las actuaciones se da en el aspecto organizativo, de interacción, social y de desarrollo de la vida en el aula, llamado a veces el currículum oculto, aunque su visibilidad ha mejorado sensiblemente a medida que se va estudiando. La otra forma de transmisión tiene lugar mediante las tareas académicas, la asignación escolar, el contenido del aula y el currículum explícito.

Los contenidos de estas dos actuaciones, estas formas de transmisión pedagógicas, constituyen la esencia misma de la empresa educacional, porque definen para qué sirven las escuelas, cuáles son los propósitos que están destinadas a cumplir. Los propósitos generales y duales de la transmisión del dominio de los contenidos de un currículum, que comprende muchas materias, habilidades y actitudes, la socialización de una generación de jóvenes por medio de las tareas comunes del aula definen la esencia de la vida en ella.

Dado que los hechos que vamos a tratar de comprender ocurren en las aulas y en las escuelas, invariablemente se producen al servicio de enseñar algo. Por lo general ese algo es susceptible de caracterizarse como el contenido de una materia (por ejemplo las ecuaciones de segundo grado, la redacción de oraciones, el análisis morfológico, la ley de Bayle), una determinada serie de habilidades, estrategias, procedimientos o conocimientos relativos a la materia, o una serie de resultados de socialización. El contenido no debe visualizarse sólo como una «variable» de contexto, comparable al tamaño de la clase o al clima del aula. El contenido y los propósitos por los cuales se enseña todo esto son el corazón mismo de los procesos de enseñanza-aprendizaje.[9] SMITH (1983) lo expresó claramente cuando afirmó que «el profesor interactúa con el estudiante dentro y a través del contenido; y el estudiante interactúa con el profesor del mismo modo”. [10] Aunque rara vez el contenido transmitido para determinados propósitos ha sido una parte fundamental de los estudios sobre la enseñanza, es indudable que merece un lugar en nuestro mapa, aunque sólo sea para recordarnos nuestro olvido con respecto a él.

Por último, la perspectiva adoptada por el investigador puede ser la de un observador exterior que intenta descubrir las relaciones entre las características observables; o bien el énfasis se puede poner en el descubrimiento de los significados construidos por los participantes mientras intentan explicar las circunstancias que ambos afrontan y crean. Estos dos aspectos se denominan a veces el aspecto positivista y el interpretativo, o bien el ético y el émico (siguiendo la tradición de la lingüística de distinguir entre los análisis fonéticos y los fonémicos).

Así, por ejemplo, la investigación tradicional sobre las características del profesor examinaba por lo general las relaciones entre los indicadores de las capacidades del enseñante (puntuaciones de tests del profesor, años de experiencia, aspectos de personalidad) y de las capacidades del estudiante (puntuaciones de tests de rendimiento, actitudes hacia sí mismo o hacia la escuela). Otras veces se vinculaban las capacidades del profesor con las acciones de los alumnos (por ejemplo, los promedios de satisfacción de los estudiantes con el curso).

La tradición de proceso-producto estudia las relaciones de la actividad docente y las consiguientes capacidades del estudiante. El programa de Tiempo de Aprendizaje Académico vincula la actividad docente con las acciones del estudiante, deducidas a partir de la distribución del tiempo hecha por los propios estudiantes. El programa de mediación del estudiante se centra en sus pensamientos y sentimientos, por lo general en relación con las acciones del profesor y las consiguientes acciones o capacidades del estudiante.

El programa de cognición del profesor examina las relaciones del pensamiento del profesor con su propia acción (por ejemplo, estudios de sistemas de juicio y asignaciones de los alumnos a grupos de lectura por parte de los profesores). El programa de la ecología del aula examina las influencias recíprocas de las acciones del profesor y del estudiante, frecuentemente iluminadas por aspectos del pensamiento. Posteriormente, las diferentes pautas de interacción pueden vincularse a cambios en las capacidades de los estudiantes. El estudio de la enseñanza implica por lo general llegar a comprender las relaciones, bajo la forma de causas o razones, entre estos diferentes aspectos de la enseñanza y el aprendizaje[11].

      2.4. Enseñanza Teórica de la Matemática.

Se adopta una perspectiva piagetiana, en el sentido de que se postula que todo conocimiento se construye por interacción constante entre el sujeto y el objeto, pero se distingue de otras teorías constructivistas por su modo de afrontar las relaciones entre el alumno y el saber. Los contenidos son el substrato sobre el cual se va a desarrollar la jerarquización de estructuras mentales.

Pero además, el punto de vista didáctico imprime otro sentido al estudio de las relaciones entre los dos subsistemas (alumno - saber). El problema principal de investigación es el estudio de las condiciones en las cuales se constituye el saber pero con el fin de su optimización, de su control y de su reproducción en situaciones escolares. Esto obliga a conceder una importancia particular al objeto de la interacción entre los dos subsistemas, que es precisamente la situación - problema y la gestión por el profesor de esta interacción.

Una situación didáctica es un conjunto de relaciones explícita y/o implícitamente establecidas entre un alumno o un grupo de alumnos, algún entorno (incluyendo instrumentos o materiales) y el profesor con un fin de permitir a los alumnos aprender – esto es, reconstruir algún conocimiento. Las situaciones son específicas del mismo.

Para que el alumno "construya" el conocimiento, es necesario que se interese personalmente por la resolución del problema planteado en la situación didáctica. En este caso se dice que se ha conseguido la devolución de la situación al alumno.

Para que el alumno "construya" el conocimiento, es necesario que se interese personalmente por la resolución del problema planteado en la situación didáctica. En este caso se dice que se ha conseguido la devolución de la situación al alumno. El proceso de resolución del problema planteado se compara a un juego de estrategia o a un proceso de toma de decisiones. De este modo, la teoría de situaciones es una teoría de aprendizaje constructiva en la que el aprendizaje se produce mediante la resolución de problemas. Como teoría de resolución de problemas, asigna un papel crucial al resolutor. Comparada, por ejemplo a la Teoría del Procesamiento de la Información que asimila el proceso de resolución con el funcionamiento de un ordenador, asigna al resolutor el papel de un decisor que desea hallar la estrategia ganadora y tiene la posibilidad de modificar su estrategia inicial una vez iniciado el proceso de solución.

Por otro lado, debido a la peculiar característica del conocimiento matemático que incluye, tanto conceptos, como sistemas de representación simbólica y procedimientos de desarrollo y validación de nuevas ideas matemáticas, es preciso contemplar varios tipos de situaciones:

      SITUACIONES DE ACCIÓN, sobre el medio, que favorecen el surgimiento de teorías (implícitas) que después funcionarán en la clase como modelos proto-matemáticos.

      SITUACIONES DE FORMULACIÓN, que favorecen la adquisición de modelos y lenguajes explícitos. En estas suelen diferenciarse las situaciones de comunicación que son las situaciones de formulación que tienen dimensiones sociales explícitas.

      SITUACIONES DE VALIDACIÓN, requieren de los alumnos la explicitación de pruebas y por tanto explicaciones de las teorías relacionadas medios que subyacen en los procesos de demostración.

      SITUACIONES DE INSTITUCIONALIZACIÓN: que tiene por finalidad establecer y dar un "status" oficial a algún conocimiento aparecido durante la actividad de la clase. En particular se refiere al conocimiento, las representaciones simbólicas, etc., que deben ser retenidas para el trabajo posterior.[12]

      2.5. Enseñanza Práctica de la Matemática.

Las leyes describen  y presentan una matemática  acorde con los tiempos actuales; sin embargo, en la práctica escolar  se reproducen las mismas  estrategias  matemáticas  que utilizaron hace años  en la formación de los actuales maestros.

Los niños “aprenden”, si se puede llamar aprender, las  grafías  de los números repitiéndolas  una y otra vez, en ocasiones escriben el número, aunque no lo comprenden  y hacen grandes  paginas de suma  y resta, una vez aprendido el mecanismo.

Las actividades  con el libro de textos  consisten en  rellenar  y hacer ejercicios repetitivos  que posteriormente  y en el mejor de los casos, serán corregidos por los profesores  que las calificará  como bien o mal sin dar al  alumno la oportunidad  de discutir  sobre la actividad realizada.

En los niveles superiores de educación primaria  se utiliza como material exclusivo  los libros de textos,  se apoya la realización de la actividad  de forma  individual  y las correcciones de grupo, se han observado el fomento de las actividades  que favorecen el pensamiento  convergente  y las repeticiones mecánicas.

Las matemática tal y como  y como se viene trabajando usualmente  en la escuela no  fomentan la aparición  de la intuición  ni del razonamiento matemático, tampoco favorece la resolución de problemas. Como sólo se estimulan actividades  mecánicas, es significativo ver que los niños  y las niñas dejan encontrarle sentido a la experiencia de  aprender  matemáticas, se vuelven receptores pasivos  de reglas y procedimientos , más que participantes activos  en la creación de conocimientos. Esta  forma de concebir la matemática inhibe  en el niño  la capacidad de pensar, de construir su conocimiento, de  convertirse en un individuo  crítico y creativo   y fomenta, por el contrario, la pasividad, la conformidad  y en suma, la mediocricidad.

Si se consigue  una buena intervención  en matemáticas, se ha demostrado que se convierte en materia clave  de los primeros años de la escolaridad obligatoria[13].

Las matemáticas ayudan al niño a desarrollar su inteligencia, les enseña a pensar, favorecen al desarrollo  de las capacidades  y procesos cognitivos, facilitan la comunicación  con el profesor y su grupo  de iguales, a la vez que le posibilitan  para encontrar y usar  estrategias, repercutiendo sus logros  en las demás  áreas, así  como  en su desarrollo integral  como persona inmersa  en una sociedad.

La matemática  se puede convertir en el vehículo que propicié en los estudiantes  un enfoque de aprendizaje profundo y de alto rendimiento  frente a otro más superficial   centrado en hechos  y en la memorización[14].

  Las investigaciones han  demostrado  una relación positiva  y alta  entre estos dos factores. Por eso el planteamiento anclado  en el tiempo que se está  dando  a esta materia   ha de terminar  y en el aula los profesores  han de posibilitar  un tratamiento distinto  siendo todas las propuestas  un tratamiento distinto , siguiendo  todas  las propuestas y recomendaciones que expresamos a continuación.

CAPÍTULO III:

ENFOQUES TEÓRICOS.

     3.1. Principios en los que se basa la Enseñanza de las Matemáticas

Existen cuatro principios que hay que seguir para enseñar matemática en la etapa de Primaria. Los principios están basados en cómo los niños aprenden y son los siguientes:

1.  Promover el uso de los procesos cognitivos.

2.  Hacer hincapié en los conceptos de aprendizaje y en las generalizaciones.

3.  Favorecer la motivación intrínseca.

4.  Atender a las diferencias individuales.[15]

      I.        PROMOVER EL USO DE LOS PROCESOS COGNITIVOS

Aprender matemática implica pensar, formar y reelaborar esquemas o estructuras de conocimientos matemáticos. Para crear y organizar los conocimientos matemáticos los niños deben usar procesos cognitivos tales como comparar, inferir, etc. Además, manipular mentalmente estos contenidos. Los procesos cognitivos, para su estudio, se van a clasificar atendiendo a seis categorías: recibir, interpretar, organizar, aplicar, recordar y resolver problemas.

A.    Recibir

Consiste en estar alerta a los estímulos existentes, ya provengan de situaciones informales o formales de aprendizaje. El proceso cognitivo es:

A.1. Atender: Se traduce en mantener conciencia de, percibir, observar.

B.   Interpretar

Es usar las experiencias pasadas o ideas previas para comprender las presentes o los nuevos conocimientos. Interpretar es usar el aprendizaje anterior para hacer la nueva experiencia significativa. Se fundamenta en comprender, y los procesos cognitivos implicados son:

B.1. Traducir: Es poner algo en otra forma de expresión (concreta, gráfica o simbólica), etiquetar y/o calificar.

B.2. Comparar: Consiste en señalar las semejanzas y diferencias. Discriminar.

B.3. Clasificar: Es agrupar siguiendo algún criterio o distinguiendo atributos. Categorizar.

B.4. Ordenar: Es colocar los términos en series crecientes o decrecientes, por atributos o características. Es secuenciar.

C.   Organizar

E s formar y estructurar las ideas matemáticas. Incluye los siguientes procesos cognitivos:

C.1. Relacionar: Consiste en conectar propiedades en términos cuantitativos y cualitativos. Es asociar términos percibidos, atributos definidos o procesos. Transformar.

C.2. Preguntar: es interrogar para clasificar. Señalar inconsistencias. Inquirir.

C.3. Inferir: E s la razón para los conceptos abstractos. Modelos o reglas particulares.

C.4. Resumir: es condensar contenidos. Señalar las ideas principales. Esquematizar.

                                                

D.   Aplicar

Es usar en una situación nueva los contenidos matemáticos previamente aprendidos. Incluye los siguientes procesos cognitivos:

D.1. Predecir: Es presagiar. Exponer consecuencias. Estimar.

D.2. Evaluar: Es verificar una solución. Consiste en juzgar.

D.3. Plantear hipótesis: Es postular una relación.

D.4. Comprobar: Es idear y llevar a cabo  un plan para verificar una hipótesis.

E.   Recordar:

Es un esfuerzo deliberado para evocar. Los procesos cognitivos son:

E.1. Ensayar: Es repasar y organizar acciones e ideas con objeto de recordar más tarde. Practicar.

E.2. Imaginar: Es usar representaciones visuales o auditivas de objetos o sucesos. Dibujar mentalmente.

E.3. Retener: Es traer a la memoria, recobrar ideas, centrarse en las experiencias pasadas (conocimientos previos). Usar reglas.

F.    Resolver problemas:

Es hallar soluciones a situaciones no resueltas. En esta categoría se combinan los procesos cognitivos anteriormente estudiados.

Se propone una nueva categoría: el planteamiento de problemas, en ella también se combinan todos los procesos cognitivos anteriormente estudiados.

Aprender es un proceso en el que se crean significados integrando las experiencias nuevas con los conocimientos que el niño ya dispone y ha organizado de experiencias pasadas. Para fomentar el uso de los procesos cognitivos, los maestros deben diseñar o programar en el aula actividades ideadas para el aprendizaje de un proceso cognitivo particular, como por ejemplo ordenar; a la vez que han de emplear los procesos cognitivos para estudiar y aprender los diferentes contenidos matemáticos.

Con los niños pequeños se deben trabajar sobre todos los procesos cognitivos de recibir, interpretar y recordar. A los niños que empiezan Educación Primaria se les han de presentar situaciones que les permitan observar, escuchar y crear imágenes mentales. También han de comparar, clasificar y ordenar mientras llevan a cabo actividades que requieren investigar con objetos y solucionar problemas relacionados con los sucesos de la vida cotidiana. A los alumnos mayores se les asignan tareas que exijan desarrollar los procesos de las categorías de organizar y aplicar. De la misma manera, se les guía para que usen los distintos pasos en la solución, llevar a cabo el plan y evaluar la solución.

Los maestros en Educación Primaria deben diseñar actividades y dar a los niños suficientes oportunidades para usar los procesos cognitivos apropiados que les permitan aprender matemáticas.

    II.        CONCEPCIONES Y GENERALIZACIONES.

Los conceptos y generalizaciones se construyen mientras procesamos las experiencias matemáticas mentalmente, enriqueciendo los contenidos previos matemáticos. Los profesores no pueden enseñar directamente conceptos y generalizaciones, sólo deben facilitar experiencias que conduzcan al alumnado a crear sus propios conceptos y generalizaciones. Los profesores que entienden que los niños forman sus propias ideas, ven la instrucción matemática como un proceso de control y no de transmisión. Para controlar el aprendizaje el profesorado ha de formular a los niños frecuentemente preguntas que estimulen su reflexión. También han de asignarles actividades de aprendizaje que requieran de los niños la utilización de procesos cognitivos distintos del ensayo y la retención[16].

   III.        FAVORECER LA MOTIVACIÓN INTRÍNSECA.

La concepción constructivista del aprendizaje se asienta en unos pilares que hay que tener en cuenta a la hora de enseñar: el grado de desarrollo o la capacidad general del alumno, sus conocimientos previos, la motivación para aprender significativamente y sus intereses personales. Por lo tanto la motivación es un componente básico de la planificación y desarrollo de las situaciones de enseñanza. Sin la relación afectiva entre el alumno y el contenido que se le presenta para su aprendizaje, la probabilidad de fracaso en el proceso de enseñanza y aprendizaje resulta clara. Incluso la desmotivación del alumnado o del profesorado desvaloriza cualquier método de enseñanza que se adopte. El diseño y desarrollo de una matemática motivadora dependerá en buena medida de tres factores: 1. La convicción con la que el maestro asuma su importancia, 2. La intencionalidad motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos, y 3. Su concreción en la práctica de cada día. Para que las matemáticas sean motivadoras además de estos tres elementos se ha de tener en cuenta las características de los alumnos a los que van dirigidas, todos han de atribuirle un significado en función de su diversidad de intereses y capacidades.

La motivación es un estímulo para alcanzar ciertos objetivos. Las fuentes de la motivación pueden ser internas (motivación intrínseca) y externas (motivación extrínseca). Un ejemplo de motivación extrínseca es cuando un niño realiza un esfuerzo para obtener buenas notas en matemática con el fin de ganar el elogio de los padres o del maestro. En este ejemplo se aprecia el enfoque que se le da a la tarea escolar como instrumento o vía para conseguir cosas sin valor educativo.

Este tipo de motivación tiene limitaciones, por ejemplo su efecto no es muy duradero y a veces puede ser contrario al deseado; por lo tanto, es necesario hacer buen uso de este tipo de motivación y no recurrir con frecuencia a ella.[17]

Tanto la motivación intrínseca como la extrínseca contribuyen al aprendizaje de los matemáticos. Sin embargo, los maestros deben interesarse más por la motivación intrínseca. En primer lugar, esta se autorregula y puede aportar perseverancia para llevar a cabo actividades; en segundo lugar, se puede confiar más en ella que en la motivación extrínseca, puesto que está bajo el control del que aprende; por último la motivación intrínseca está entrelazada con el conocimiento y es un estímulo poderoso para la comprensión.

La motivación intrínseca se relaciona con la tarea y se trata de que la misma realización de la tarea se convierta para los alumnos en una experiencia gratificante, para ello han de darse situaciones de enseñanza en las que se posibilite al alumno un grado óptimo de desafío: ni muy fáciles ni muy difíciles y acordes con la competencia del alumno.

La motivación interna en matemáticas implica el interés por esta materia y el deseo de progresar. Por ejemplo, los niños motivados intrínsecamente gastaran energía en idear una situación problemática, resolver un rompecabezas o conseguir una nota máxima en una prueba, porque la consecución de este objetivo le satisface personalmente. El aprendizaje puede ser una recompensa en sí mismo y a medida de que el conocimiento del alumno se va ampliando, busca espontáneamente retos cada vez más difíciles.[18]

     3.2. Aspectos significativos en los que se apoya la enseñanza de las    Matemáticas en la Etapa de Educación Primaria.

Las pautas más útiles que ha de seguir un maestro para trabajar las matemáticas con los niños de los primeros niveles de la Educación Primaria son las siguientes:

A.                  Proporcionar experiencias de aprendizaje a los alumnos que pongan en juego los procesos cognitivos de las categorías de recibir, interpretar y recordar.

B.                 Diseñar actividades nuevas y diferentes que comprendan parte de los contenidos que los niños conocen.

C.                 Formular en la clase diferentes preguntas, sobre todo inductivas.

D.                 Ayudar a aprender a los niños a través de la resolución de problemas reales.

E.                  Trabajar con los alumnos el planteamiento de problemas.

F.                  Potenciar el aprendizaje cooperativo y colaborativo realizando actividades apropiadas, por ejemplo, juegos matemáticos.

G.                 Usar materiales concretos.

En los últimos niveles de la Educación Primaria los profesores deben seguir siete pautas fundamentales para trabajar el área de matemáticas con sus alumnos:

1.    Diseñar actividades que requieran aprendizaje de los procesos cognitivos de las categorías de organizar, aplicar y solucionar problemas.

2.    Fomentar el uso de materiales concretos y dibujos para verificar la comprensión intuitiva del conocimiento matemático.

3.    Acentuar las preguntas de carácter deductivo.

4.    Proporcionar oportunidades para aprender eligiendo problemas y superando retos tanto en clase como en el tiempo libre.

5.    Favorecer el planteamiento de problemas con los alumnos.

6.    Potenciar el trabajo cooperativo para solucionar problemas. Llevar a cabo proyectos matemáticos especiales.

7.    Favorecer actitudes positivas para realizar actividades matemáticas cada vez más complejas.

En ambos niveles, el profesor ha de partir de los conocimientos previos del alumnado para construir aprendizajes significativos; llevando los contenidos teóricos a la práctica en la vida real del alumnado. [19]

     3.3. Algunos Métodos de la Matemática en el Nivel Correspondiente a Educación Primaria.

Desde hace 50 años aproximadamente, muchas organizaciones y centro de investigación han trabajado para adoptar contenidos y métodos de la matemática en Educación Primaria. Del trabajo realizado tenemos sus principales objetivos:

-       Desarrollar la comprensión de los alumnos.

-       Ayudarles a adquirir habilidades matemáticas.

Comprender que la matemática es disponer de una fuente de deleite intelectual, así como de una herramienta de gran utilidad práctica; pero la matemática es algo más que comprensión; abarca habilidades y procesos de abstracción que son muy importantes, tanto social como matemáticamente.

Estas experiencias y habilidades deberán ser desarrolladas completamente con creatividad y con sentido común.

Todo alumno encuentra interés en su trabajo y que sea motivado para encontrar respuestas por sí mismo, no sólo adquiere una firme comprensión de los conceptos y experiencias sino que también desarrolla una actitud de confianza en sí mismo, que es esencial para aprender y emplear la matemática.

Los contenidos deben ser una fuente de entretenimiento ya que así los alumnos aprenden de una manera más efectiva y emplean sus conocimientos más fácilmente cuando encuentran divertido su trabajo.

A.   Método del descubrimiento.-

En el cual el alumno puede trabajar con materiales que se pueden manipular, manejar y mostrar fácilmente a los compañeros.

En la mayoría de los contenidos el futuro maestro deberá proporcionar variadas experiencias a través del trabajo con material didáctico antes que los alumnos escriban sus conclusiones de las experiencias realizadas.

Donde el maestro proporcione los contenidos llevándolos a la práctica junto a los alumnos  haciendo que el aprendizaje y espacios sean para ellos significativos.[20]

B.   El Método de Situaciones.-

La idea central del esquema de Dienes es que el concepto debe obtenerlo el alumno a través de la práctica, con objetos que manipula directamente, para luego abstraerlo, tratarlo y utilizarlo.

Este método evita una actitud dogmática, mediante el cual el alumno aprende lo que el maestro le enseña, sin tener la menor idea de lo que aprende.

Ahora bien, si se sabe que la Educación debe propugnar la liberta y la creatividad del niño, ¿Por qué hay que restringirle su campo de razonamiento?, ¿Por qué hay que obligarlo a pensar a partir de esos pocos objetos que se le presenta?, cuando en realidad el mundo en el que vive le pone a su alcance muchos otros objetos que bien pueden ser utilizados con iguales o mejores resultados. Más aún cuando el niño llega a la escuela con un enorme bagaje de conocimientos, que lejos de frenarlos deberían ser utilizados al máximo. Y si se tiene en cuenta la gran imaginación que tiene el niño, ¿Por qué esa ventaja que, sin saberlo, nos ofrece el niño?

Teniendo en cuenta las apreciaciones anteriores es que ha surgido otra corriente; que sin eliminarlas, sobrepasa rápidamente las dos primeras etapas de Dienes, para comenzar prácticamente el proceso a partir de la representación, simultáneamente con la abstracción.

En un principio y solo para los primeros momentos, es el maestro quien realiza la representación; para que luego, y con gran facilidad, los alumnos reproduzcan sus propias representaciones (muchas veces con más detalle que el original, por cuanto cada uno pone lo que considere esencial y provechoso para su trabajo).

Tanto la representación como la abstracción se realiza utilizando la realidad del niño, a partir de objetos que le son familiares, pero que no están, necesariamente, presentes en ese momento; es decir, haciendo uso de lo que se llama lo CONCRETO IMAGINADO.

Así, un punto dentro de un diagrama puede representar lo que el niño guste, desde un tren hasta un mono, pasando por su hermano o una aguja; en fin todo aquello que le es familiar y que se ubica dentro de los marcos lógicos que encuadran la situación.

Esta tendencia del método de situaciones tiene entre otras, tres ventajas bien marcadas.

a.    Se ahorra tiempo por cuanto no es necesario pasar por las etapas de juego que señala Dienes para después seguir muy de cerca los planteamientos de este. Y cuidado, que una sociedad como la nuestra no puede permitirse el lujo de dilatar el tiempo buscando el logro de un concepto con etapas preliminares, cuando es posible llegar a la meta por un camino más corto, que a lo futuro permitirá un desarrollo más rápido.

b.    Desde el primer momento se consigue y utiliza la abstracción (que para muchos es algo que los niños son incapaces de realizar), y podrían decirse una “abstracción generalizadora” por cuanto esa abstracción la logra el niño luego de trabajar muchos objetos de la más diversa naturaleza y dentro de las más variadas circunstancias.

Esto es algo así como el germen de la generalización que permite hoy en día la matemática actual.

c.    La libertad y la creatividad del niño van de la mano desde el principio, ya que no se le obliga a jugar solo con un cierto tipo de objetos sino con los que él quiera crear en ese momento.

Además, el niño siempre estará interesado con el trabajo por cuanto el juego con objetos que son de su agrado y dentro de situaciones que, en la mayoría de casos, él mismo las imagina. Esto garantiza la constante creatividad del niño.[21]

     3.4. Sugerencias Metodológicas para la Enseñanza de la Matemática.

En concordancia con el desarrollo evolutivo del educando de Educación Primaria, se sugiere considerar, de manera secuencial, las siguientes etapas:

A.   Situaciones de juego y experiencias directas: En esta etapa los niños participan activamente en acciones lúdicas que conducen al descubrimiento de una nueva noción.

B.   Manipulación de material concreto: Consiste en la exploración del objeto. A través de esta actividad, el niño descubre las propiedades y relaciones de los materiales con que juaga y manipula. No debe preocuparnos el tiempo empleado en esta etapa, es aquí donde los niños adquieren experiencias valiosas para realizar clasificaciones posteriores.

C.   Uso de material gráfico: Esta etapa se realiza generalmente después de las dos anteriores. Crea situaciones de búsqueda por parte del niño, le incitara a desarrollar estrategias, tanteos que los llevan a descubrir soluciones.

D.   Utilización de símbolos: E s una etapa superior en la que los educados utilizan los símbolos de la matemática. Los pone en práctica al desarrollar interrogantes y problemas en su vida cotidiana.

E.   Reforzamiento de la noción adquirida: En esta etapa el profesor creará nuevas situaciones de aprendizaje cuidadosamente elaboradas, para reforzar los aprendizajes adquiridos, asegurando el logro de ellos, por parte del educando

Los docentes enriquecerán estas etapas con acciones, a partir de sus experiencias, orientando al educando al descubrimiento de una noción que proporcionará una mejor formación Matemática, evitando el aprendizaje memorístico en donde los contenidos sean aprendidos a través de la práctica en la cotidianidad.

 3.5. Espacios Significativos.

A los niños hay que dejarlos actuar en su cotidianidad. Los adultos podemos amoldarnos, adaptarnos luego ingresar en su mundo y es recién, que se puede orientar y desarrollar habilidades en determinados momentos y lugares, que irán consolidándose como instrumentos de aprendizaje.

El espacio educativo significativo, es un escenario de aprendizaje estructurado, capaz de generar múltiples experiencias entre compañeros. Se trata de hechos que facilitan la construcción de conocimientos y ayudan a fomentar pensamientos avanzados y modalidades complejas de interacción con el mundo que los rodea y circunda.

Es un proceso de organización, reorganización, cambios y transformaciones de adquisición de capacidades y competencias, que son aprendidos a partir de experiencias reales, desafiantes y novedosos para que puedan considerarse altamente significativos. Los niños y niñas aprenden el mundo, a partir de sus vivencias con sus padres, amistades, vecinos, familiares, prácticas de tradiciones, juegos, bailes, relatos, paseos campestres, visitas a mercados, parques, etc.

Los espacios significativos, por tanto, son las condiciones que se propician a favor del aprendizaje. Las situaciones, son significativas, en tanto que el educador propicia las condiciones para convertir en una situación o espacio significativo, que dan lugar las siguientes características.

v  SITUACION ESTRUCTURADA:

El docente solicita asumir los roles de un cuento, introduciendo uno o más propósitos de aprendizaje previamente planificados: modalidades de participación, dinámicas, elección de roles que asumirán a partir del cuento, planteamientos y respeto de las reglas de juego en base a la integración entre compañeros de aula en forma solidaria y un ambiente de alegría y respeto. A partir de la situación planteada y puesta en marcha, se propicia la formulación de problemas, generación de hipótesis, justificaciones y explicaciones de puntos de vista.

v  UN CONTEXTO DE INTERCONEXION:

Espacios que favorecen la comunicación y la actividad en relación consigo mismo, respecto con sus compañeros y los objetos que se ha contactado. Los niños y niñas estarán estimulados por la enseñanza de relatos, canciones, bailes, revisión de periódicos, videos, internet que ejerciten la memoria, la concentración, comparación, clasificación, seriación dándoles un sentido de organización y mate matización de los hechos y objetos con los que se encuentra en contacto.

v  UNA SITUACIÓN DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

Escenario donde se desenvuelven en el plano de las acciones, en términos de cumplimiento de metas. Si la situación es que el alumno aprenda a cantar haciendo gestos, cuando se enfrenta en éste escenarios el niño o la niña, buscará las estrategias para garantizar  el canto con gestos, hasta el momento que lo cumpla y ya no más constituirá en problema. La resolución de problemas es uno de las columnas vertebrales para la estructura cognitiva del niño para solucionar problemas futuros lógicos y abstractos. Un ejemplo clásico y eficaz es la organización de los materiales en el aula, donde clasifiquen las cosas por color, tamaño y los criterios que elijan los niños.

La resolución de problemas, es uno de los aspectos que ponen “en guardia” o de “desafío” e los alumnos. Las situaciones problemáticas en realidad hacen la capacidad en el alumno. [22]

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[1]FENSTERMACHER, G. D; “A PHILOSOPHICAL CONSIDERATION OF RECENT RESEARCH ON TEACHER EFFECTIVENESS”; Págs. 157-160; citado por WITTROCK, Merlín C; “LA INVESTIGACIÓN DE LA ENSEÑANZA I”; Ediciones PAIDOS; 1era edición; 1989; Barcelona- España; Págs. 95-103; en http://www.terras.edu.ar/biblioteca/11/11DID_Shulman_Unidad_1.pdf.

[2]DAVIANI, María Cristina; “MÉTODOS DE ENSEÑANZ- DIDÁCTICA GENERAL PARA MAESTROS Y PROFESORES”;  Editorial  Santillana;  1era  edición; Buenos Aires- Argentina; pág. 16 – 31.

[3] AMAYA CUEVA, Mónica del Rosario y SALDAÑA BARBOZA Gladis Mina; “DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA DE NIVEL PRIMARIO”; Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo- FACHSE; Lambayeque; enero, 1997; Págs. 21-25.

[4] “DISEÑO CURRICULAR BASE”; Ministerio de Educación; 1989.

[5] “DISEÑO CURRICULAR BASE”; Ministerio de Educación; 1989.

[6] HERNÁNDEZ  PINA, Fuensanta y SORIANO AYALA, Encarnación; “ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA”; Editorial MURALLA S.A; Madrid- España; 1999;  Pág. 15-20.

[7]HERNÁNDEZ  PINA, Fuensanta y SORIANO AYALA, Encarnación; “ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA”; Editorial MURALLA S.A; Madrid- España; 1999;  Pág. 20.

[8] “RUTAS DEL APRENDIZAJE- ¿QUÉ Y CÓMO APRENDEN MATEMÁTICA NUESTROS NIÑOS Y NIÑAS?”; Ministerio de Educación; Fascículo N° 01; 3er grado al 6to grado de educación primaria; Lima- Perú; 2013; Págs. 27-31.

[9] DUNKIN, M.J  y BIDDLE, B.J; “THE STUDY OF TEACHING”; Nueva York; 1974; Pág. 35; citado por WITTROCK, Merlín C; “LA INVESTIGACIÓN DE LA ENSEÑANZA I”; Ediciones PAIDOS; 1era edición; 1989; Barcelona- España; Págs. 95-103; en http://www.terras.edu.ar/biblioteca/11/11DID_Shulman_Unidad_1.pdf.

[10]SMITH, B.O; “SOME COMMENTS ON EDUCATIONAL RESEARCH IN THE TWENTIETH CENTURY”; Elementary School Journal; Nueva York; Pág. 491;  citado por WITTROCK, Merlín C; “LA INVESTIGACIÓN DE LA ENSEÑANZA I”; Ediciones PAIDOS; 1era edición; 1989; Barcelona- España; Págs. 95-103; en http://www.terras.edu.ar/biblioteca/11/11DID_Shulman_Unidad_1.pdf.

[11] GAGE, N.L; “HANDBOOK OF RESEARCH ON TEACHING”; publicado en ingles por MACMILLAN PUBLISING COMPANY; traducido por Ofelia Castillo y Gloria Vitale; Nueva York; 1963; pág. 127. citado por WITTROCK, Merlín C; “LA INVESTIGACIÓN DE LA ENSEÑANZA I”; Ediciones PAIDOS; 1era edición; 1989; Barcelona- España; Págs. 95-103; en http://www.terras.edu.ar/biblioteca/11/11DID_Shulman_Unidad_1.pdf.

[12] GUTIÉRREZ, Ángel; “ÁREA DE CONOCIMIENTO: DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA”; Madrid – España; 1991; Págs. 17-29.

[13] HERNÁNDEZ  PINA, Fuensanta y SORIANO AYALA, Encarnación; “ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA”; Editorial MURALLA S.A; Madrid- España; 1999;  Pág. 20.

[14] HERNÁNDEZ  PINA, Fuensanta SORIANO AYALA, Encarnación; “ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA”; Editorial MURALLA S.A; Madrid- España; 1999;  Pág. 21.

                                                                                                                    

[15]HOLMES; 1985 citado por HERNÁNDEZ  PINA, Fuensanta SORIANO AYALA, Encarnación; “ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA”; Editorial MURALLA S.A; Madrid- España; 1999; Pág. 27.

[16] HOLMES; 1985 citado por HERNÁNDEZ  PINA, Fuensanta SORIANO AYALA, Encarnación; “ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA”; Editorial MURALLA S.A; Madrid- España; 1999; Pág. 32.

[17]ALONSO TAPIA, Jesús; “ORIENTACIÓN EDUCATIVA: TEORÍA, EVALUACIÓN E INTERVENCIÓN”; 1995; Pág. 32; citado por HERNÁNDEZ  PINA, Fuensanta SORIANO AYALA, Encarnación; “ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA”; Editorial MURALLA S.A; Madrid- España; 1999; Pág. 27.

[18] ALONSO TAPIA, Jesús; “ORIENTACIÓN EDUCATIVA: TEORÍA, EVALUACIÓN E INTERVENCIÓN”; 1995; Pág. 33; citado por HERNÁNDEZ  PINA, Fuensanta SORIANO AYALA, Encarnación; “ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA”; Editorial MURALLA S.A; Madrid- España; 1999; Pág. 27.

[19] HERNÁNDEZ  PINA, Fuensanta SORIANO AYALA, Encarnación; “ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA”; Editorial MURALLA S.A; Madrid- España; 1999; Págs. 40-41.

[20]HUANILLO TELLO, César; “MATEMÁTICA PARA LA EDUCACIÓN PRIMARIA”;  Fondo editorial Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo- FACHSE; Pág. 134.

[21] ZOLTAN P, Dienes; 1966; citado por  HUANILLO TELLO, César; “MATEMÁTICA PARA LA EDUCACIÓN PRIMARIA”;  Fondo editorial Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo- FACHSE; Pág. 134.

[22]PÓLYA, George; “COMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS”; Editorial TRILLAS;  1945; Págs.  51-53 en http://www.ingverger.com.ar/ver-polya-resolucion-problemas.asp.