TEMA:
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA A APLICADA A LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Dedicatoria
A la Universidad , por ser
la
Institución que permite
nuestra
formación, como
personas
y profesionales.
También se lo dedicamos
a
nuestros padres porque
gracias
a ellos que siempre
nos
apoyan, ha sido posible
la
realización de este
trabajo.
|
La
didáctica de la matemática estudia las actividades didácticas, es decir las
actividades que tienen por objeto el proceso docente, evidentemente en lo que
ellas tienen de específico de la matemática.
Los
resultados, en este dominio, son cada vez más numerosos; tratan los
comportamientos cognitivos de los alumnos, pero también los tipos de
situaciones empleados para enseñarles y sobre todo, los fenómenos que genera la
comunicación del saber. La producción o mejoramiento de los instrumentos de
enseñanza encuentra en estos resultados más que objetivos instrumentos de
evaluación; encuentra aquí un apoyo teórico, explicaciones, medios de previsión
y de análisis, sugerencias y aun dispositivos y métodos.
Considerando
que la matemática es un “objeto de enseñanza” este puede transmitirse. Quien
posee el conocimiento puede ofrecerlo a quien no lo posee, sin riesgo de que el
conocimiento se modifique en el proceso de transmisión.
La
tarea del profesor consiste en “inyectar” el conocimiento en la mente del
estudiante a través de un discurso adecuado. El estudiante, por su parte, no
puede modificar la estructura del discurso, su tarea consiste en decodificarlo.
Numerosos estudios sobre el aprendizaje y la enseñanza han demostrado
que los niños no son simplemente receptores que acumulan información que les
dan los adultos, sino que aprenden modificando ideas anteriores al interactuar
con situaciones problemáticas nuevas.
Desde esta perspectiva, las matemáticas deben ser para los alumnos una
herramienta que ellos recrean y evoluciona frente a la necesidad de resolver
problemas.
Para aprender, los alumnos necesitan “hacer matemáticas”, es decir, precisan enfrentar numerosas situaciones que les presente un problema, un reto, y generar sus propios recursos para resolverlas, utilizando los conocimientos que ya poseen.
Sus recursos serán informales al principio, pero poco a poco, con la experiencia, la interacción con sus compañeros y la ayuda del maestro, evolucionaran hacia la formalización del conocimiento.
Para aprender, los alumnos necesitan “hacer matemáticas”, es decir, precisan enfrentar numerosas situaciones que les presente un problema, un reto, y generar sus propios recursos para resolverlas, utilizando los conocimientos que ya poseen.
Sus recursos serán informales al principio, pero poco a poco, con la experiencia, la interacción con sus compañeros y la ayuda del maestro, evolucionaran hacia la formalización del conocimiento.
En consecuencia, los conocimientos matemáticos y los problemas no pueden
separarse. No se trata de “aprender” matemáticas para después “aplicarlas” a la
resolución de problemas, sino de aprender matemáticas al resolver problemas
Matemática es la única asignatura
que se estudia en los países del mundo y en todos los niveles educativos. De
hecho, supone un pilar básico de la enseñanza en todos ellos. La causa
fundamental de toda esa universal presencia hay que buscarla en que las matemáticas
constituyen un idioma poderoso, conciso y sin ambigüedades (según la formulación
del informe cockroft, 1985) ese idioma se pretende que sea aprendido por
nuestros alumnos, hasta conseguir que lo “hablen” por medio de contemplación de
cómo los hacen otros (sus profesores) y por su aplicación a situaciones muy
sencillas y ajenas a sus vivencias (los ejercicios)
Evidentemente la utilización
de un idioma requiere de unos conocimientos mínimos para poder desarrollarse.
Pero sobre todo, pero sobre todo se necesitan situaciones que inviten a
comunicarse por medio de ese idioma, a esforzarse en lograrlo, y, desde luego,
de unas técnicas para hacerlo. En el caso del idioma matemático, una de las técnicas
para hacerlo. El caso del idioma matemático, una de las técnicas para hacerlo.
En el caso del idioma matemático, una de las técnicas fundamentales de comunicación
son los métodos de resolución de
problemas.
La resolución de problemas es considerada
en la actualidad la parte más
esencial de la educación matemática. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea.
·
Santaló (1985), gran matemático español y además muy interesado en su didáctica, señala que «enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar
a resolver problemas. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas».
·
En una conferencia pronunciada en 1968, George Polya decía: «Está bien
justificado que
todos los textos de
matemáticas contengan problemas. Los problemas pueden incluso
considerarse como la parte más esencial de la educación matemática».
Un "problema" sería
una cuestión a la que no es posible contestar por
aplicación directa de ningún resultado conocido
con anterioridad, para resolverla es
preciso
poner en juego
conocimientos diversos, matemáticos o no, y buscar relaciones nuevas entre ellos.
Examinemos cuidadosamente qué significa: saber resolver problemas, comunicarse matemáticamente y, demostrar la
habilidad para razonar
matemáticamente.
·
Alguien
que
sabe
resolver problemas
es
quien cuestiona,
encuentra, investiga y explora soluciones
a los problemas;
quien demuestra la
capacidad para persistir en busca de una
solución; quien comprende que puede haber varias maneras de encontrar una respuesta; y quien aplica las matemáticas con éxito a las situaciones de la vida cotidiana.
·
Saber
comunicarse matemáticamente
significa
utilizar el lenguaje matemático, los
números,
las tablas
o símbolos
para explicar cosas y explicar el razonamiento
utilizado para resolver un problema de cierta
manera,
en vez de únicamente dar la respuesta. También significa
escuchar
cuidadosamente para entender las diversas maneras en que otras personas
razonan.
·
La capacidad para razonar matemáticamente significa poder pensar lógicamente, ser capaz de discernir las similitudes y diferencias en objetos o
problemas, poder
elegir
opciones sobre
la base
de estas
diferencias y razonar sobre las relaciones entre las cosas.
v partiendo
de
estos conceptos y de las necesidades detectadas en los
alumnos establecemos como objetivos :
Objetivo general:
- Mejorar en el alumnado de Educación Primaria la resolución de problemas.
Objetivos específicos:
- Introducir y mejorar
de forma dirigida, gradual
y
sistemática las estrategias necesarias para afrontar más eficazmente la
resolución de problemas matemáticos: lectura comprensiva, atención, discriminación
de
datos, etc.
- Mejorar
la capacidad
de razonamiento matemático
en
los
alumnos
facilitando
una mayor conexión con la realidad.
CAPÍTULO I
DIDÁCTICA
1.1.
LA
DIDÁCTICA:
Recordemos
que la acción educativa requiere de una teoría y de una práctica. La teoría la
proporciona la pedagogía que es la ciencia de la educación y la práctica es
decir, el cómo hacerlo, lo proporciona la didáctica. Etimológicamente la
palabra didáctica se deriva del griego didaskein: enseñar y tékne: arte, entonces,
se puede decir que es el arte de enseñar.
De
acuerdo con Imideo G Nérici, la palabra didáctica fue empleada por primera vez,
con el sentido de enseñar, en 1629, por Ratke, en su libro Principales
Aforismos Didácticos. El término, sin embargo, fue consagrado por Juan Amos
Comenio, en su obra Didáctica Magna, publicada en 1657.
Así,
pues, didáctica significó, principalmente, arte de enseñar. Y como arte, la
didáctica dependía mucho de la habilidad para enseñar, de la intuición del
maestro o maestra.
Más
tarde la didáctica pasó a ser conceptualizada como ciencia y arte de enseñar,
prestándose, por consiguiente, a investigaciones referentes a cómo enseñar
mejor.
La
didáctica general, está destinada al estudio de todos los principios y técnicas
válidas para la enseñanza de cualquier materia o disciplina. Estudia el
problema de la enseñanza de modo general, sin las especificaciones que varían
de una disciplina a otra. Procura ver la enseñanza como un todo, estudiándola
en sus condiciones más generales, con el fin de iniciar procedimientos
aplicables en todas las disciplinas y que den mayor eficiencia a lo que se
enseña.
La
didáctica está constituida por la metodología abordada mediante una serie de
procedimientos, técnicas y demás recursos, por medio de los cuales se da el
proceso de enseñanza- aprendizaje.
Dado
que la didáctica hace referencia a los procedimientos y técnicas de enseñar
aplicables en todas las disciplinas o en materias específicas, se le ha
diferenciado en didáctica general y didáctica específica o especial.
Algunos conceptos que sobre
Didáctica General se han planteado diferentes autores expertos en el tema son:
Para Imideo G Nérici: La didáctica se
interesa por el cómo va a ser enseñado.
Nérici dice: “La didáctica es el estudio del
conjunto de recursos técnicos que tienen por finalidad dirigir el aprendizaje
del alumno, con el objeto de llevarle a alcanzar un estado de madurez que le
permita encarar la realidad, de manera consciente, eficiente y responsable,
para actuar en ella como ciudadano participante y responsable.”
De acuerdo con Fernández/ Sarramona/ Tarín,
en su Tecnología Didáctica, le adjudican a la didáctica un carácter aplicativo,
eminentemente práctico, aunque no excluyen que tenga también un carácter
teórico especulativo, pero su practicidad es su principal razón de ser:
“La
didáctica es la rama de la pedagogía que se ocupa de orientar la acción educadora
sistemática, y en sentido más amplio: “Como la dirección total del aprendizaje”
es decir, que abarca el estudio de los métodos de enseñanza y los recursos que
ha de aplicar el educador o educadora para estimular positivamente el
aprendizaje y la formación integral y armónica de los y las educandos”
Fernández Huerta, en el Diccionario de
Pedagogía, dice al respecto: "A la didáctica general le corresponde el
conjunto de conocimientos didácticos aplicables a todo sujeto, mientras la
didáctica especial es todo el trabajo docente y métodos aplicados a cada una de
las disciplinas o artes humanas dignas de consideración". La didáctica
especial tiene un campo más restringido que la didáctica general, por cuanto se
limita a aplicar las normas de ésta, al sector específico de la disciplina
sobre la que versa.
Stoker, dice: "La didáctica general plantea
las cuestiones generales de toda la enseñanza comunes a todas las materias,
intenta exponer los principios o postulados que en todas las asignaturas se
presentan y que ha de ser objeto de consideraciones fundamentales"
KarllteinTomachewski, plantea que la teoría
general de la enseñanza se llama didáctica.
De acuerdo con Luis A de Mattos, en su
Compendio de Didáctica General podemos resaltar que: "La didáctica es la
disciplina pedagógica de carácter práctico y normativo que tiene por objeto
especifico la técnica de la enseñanza, esto es, la técnica de incentivar y de
orientar eficazmente a sus alumnos y alumnas en el aprendizaje"
1.2.
OBJETIVOS
DE LA DIDÁCTICA
De
acuerdo con el planteamiento de Imideo G Nérici, los principales objetivos de
la didáctica son:
·
Llevar a cabo los propósitos de la educación.
·
Hacer el proceso de enseñanza- aprendizaje
más eficaz.
·
Aplicar los nuevos conocimientos provenientes
de la biología, la psicología, la sociología y la filosofía que puedan hacer la
enseñanza más consecuente y coherente.
·
Orientar la enseñanza de acuerdo con la edad
evolutiva del alumno y alumna para ayudarles a desarrollarse y realizarse
plenamente, en función de sus esfuerzos de aprendizaje.
·
Adecuar la enseñanza y el aprendizaje, a las
posibilidades y necesidades del alumnado.
·
Inspirar las actividades escolares en la
realidad y ayudar al alumno (a) a percibir el fenómeno del aprendizaje como un
todo, y no como algo artificialmente dividido en fragmentos.
·
Orientar el planeamiento de actividades de
aprendizaje de manera que haya progreso, continuidad y unidad, para que los
objetivos de la educación sean suficientemente logrados.
·
Guiar la organización de las tareas escolares
para evitar pérdidas de tiempo y esfuerzos inútiles.
·
Hacer que la enseñanza se adecue a la
realidad y a las posibilidades del o la estudiante y de la sociedad.
·
Llevar a cabo un apropiado acompañamiento y
un control consciente del aprendizaje, con el fin de que pueda haber oportunas
rectificaciones o recuperaciones del aprendizaje.
o La didáctica como arte y como ciencia
Dada la
raíz de la palabra didáctica - didaskein- que significa enseñar, se entiende
que estamos frente a una disciplina que trata de esa actividad propia del
profesor o profesora.
Veamos
por qué la didáctica puede considerarse, al mismo tiempo, como arte y como ciencia.
o La didáctica es el arte de enseñar.
La
palabra arte tiene aquí un significado muy bien delimitado desde la antigüedad.
o No se refiere necesariamente a la belleza, ni es un objeto
material. Arte significa cualidad intelectual práctica, habilidad interna que
se manifiesta como una facilidad para producir un determinado tipo de obras.
Así es como nos referimos al arte de bailar, escribir, cocinar, de fabricar
aviones, proyectar y en nuestro caso el arte de enseñar.
Un
profesor o profesora es didáctico (a) cuando posee la habilidad para comunicar
un tema, volver claro un asunto difícil, y lograr estimular aprendizajes en sus
alumnas y alumnos.
En
consecuencia, podemos concebir este arte como una cualidad que se da en el profesor
o profesora, que perfecciona sus facultades principalmente en el campo intelectual,
y que se reconoce externamente por la facilidad y mediación para lograr que sus
alumnos aprendan.
Se trata
de una cualidad adquirida, y requiere esfuerzo y mérito personal.
Ciertamente,
la sola lectura de este texto no garantiza la adquisición de esa habilidad.
Se
necesita el ejercicio real de las técnicas. Es a través de la práctica como
puede lograrse el arte de enseñar que, en último caso, siempre es graduado y perfeccionarle.
o La didáctica es una ciencia.
Quien
educa puede a su vez, lograr el aprendizaje de una serie de conceptos,
Procedimientos
valores o actitudes claros, ordenados y fundamentados, que tratan de producir
mentalmente las principales ideas, tesis y procedimientos que componen el arte de enseñar, esto es lo que se llama la
ciencia didáctica.
Conocer
esta ciencia didáctica no es suficiente para adquirir el arte de enseñar. Sin embargo,
constituye un paso previo indispensable para avanzar rápidamente en la adquisición
del arte, pues sin ella el educador o educadora se vería en la obligación de ensayar
una serie de alternativas infructuosas, que la ciencia ya había desechado en su
trabajo de fundamentación y ordenación.
1.3.
HACIA MODELOS DIDÁCTICOS INTERACTIVOS
Entendemos
por modelo didáctico, una teoría de las ciencias de la educación que sirve como
modelo y análisis del actuar didáctico en el contexto escolar como
extra-escolar.
Por
un lado, es la representación conceptual, simbólica y por otro lado, es la estructuración
sistemática de la secuencia del proceso de aprendizaje.
Tienen
por finalidad aclarar las condiciones, las posibilidades y límites del proceso,
considerando tanto aspectos teóricos como práctico-metodológicos.
Así
los modelos didácticos se diferencian de la descripción de la práctica
únicamente y de los modelos puramente teóricos, porque son la generalización de
muchos casos particulares e integran los aspectos teóricos con aspectos
prácticos (Cpr. Flechsig 1991; Jank/Meyer 1991).
No
existe un modelo didáctico único y universal y depende en primer término de
tres elementos esenciales, que interactúan permanentemente:
§ El
alumno o alumna con todas sus características personales, psicológicas y
socioculturales, su nivel de desarrollo mental, su interés y motivación para
aprender, así como de sus conocimientos y experiencias previas.
§ El
profesor o profesora con su propia personalidad, su preparación, su competencia
profesional académica, metodológica, su capacidad de comunicación entre otros.
§ El
currículo a desarrollarse, incluyendo los contenidos cognitivos, procedimentales
y actitudinales, las habilidades y destrezas, sus estrategias metodológicas,
los medios y materiales, así como la evaluación.
§ Aunque
el alumno y la alumna, el maestro y la maestra y el currículo sean considerados
los elementos esenciales del proceso de enseñanza - aprendizaje, hay factores a
nivel micro y también macro que influyen en este proceso, muchas veces
condicionando su buen desenvolvimiento.
Distinguimos
como factores a nivel macro, aquellos que se encuentran a nivel mundial, nacional,
regional y como factores a nivel micro, aquellos que se encuentran en el entorno
más cercano: escuela y localidad.
Factores en el nivel macro
son:
Ø La sociedad, con
su realidad socio-económica, su cultura, su sistema político, su ubicación
geopolítica, su situación actual como país, su ideología, etc.
Ø El sistema educativo nacional con su
estructura, sus principios y fines educativos, su financiamiento y
su funcionamiento, etc.
Ø La estructura curricular nacional o
regional con sus componentes, sus enfoques, sus
contenidos, estrategias metodológicas generales y su sistema de evaluación.
Ø Las normas generales sobre
infraestructura, construcción, mobiliario, material educativo
etc.
Ø El sistema de formación docente, su
currículo, perfil profesional, nivel y duración, preparación y capacitación,
etc.
Factores en el nivel micro
son:
Ø El ambiente natural y social: la
región geográfica, la comunidad local, la composición familiar, su situación
socio-económica, su ubicación dentro de la comuna: zona residencial, zona
urbana popular, zona urbana marginal, zona rural etc.
Ø La infraestructura educativa:
tipo de construcción, material noble, esteras, adobes, condiciones mínimas o
máximas, equipos, materiales y medios, etc.
Ø La organización escolar: el
proyecto educativo institucional, su visión y misión, el estilo de la
dirección, los equipos de profesores(as), su experiencia, su edad, su sexo, su
preparación y compromiso.
Ø El salón de clase: el
número de alumnos(a), su edad, sexo, implementación del aula, ambientación y
recursos.
Concluimos,
que ya no cabe determinar un solo modelo didáctico como válido, pues las
realidades tan complejas exigen que el maestro o maestra conozca y domine una gran
variedad de modelos y determine en qué momento emplear qué modelo y cuándo combinarlo
con otro, insistiendo cada vez más en modelos didácticos con relaciones interactivas,
donde se da una interrelación entre alumnos(as), entre profesor(a) y alumno(a),
y su entorno, integrando saberes y abarcando al ser humano en su totalidad, para
así lograr comprender y poder transformar la realidad. Retomando el enfoque
constructivista, nos centramos en el aprendizaje significativo, el cual implica
crear una relación sustancial entre el conocimiento previo y la nueva información.
Este
proceso de aprendizaje puede realizarse presentando los contenidos totalmente acabados
o descubriendo y construyendo los contenidos mediante procesos participativos.
Ambas
tendencias se deben complementar y el buen proceso de aprendizaje requiere de
modelos didácticos centrados en el actuar del profesor(a) y modelos didácticos centrados
en la actividad de los alumnos(as), para lograr hacer una síntesis armónica de naturaleza
interactiva.
1.4.
ANALIZAMOS LOS TIPOS DE APRENDIZAJE
Desde
la corriente psicológica cognitiva, la labor educativa está ligada
estrechamente a la concepción del aprendizaje y se centra en el proceso de
aprendizaje con una visión integral, multidimensional, activa, participativa,
enfatizando el aprendizaje significativo, que es la adquisición de nuevos conocimientos,
que se vinculan de manera clara y estable con los conocimientos previos.
Los
aprendizajes significativos pueden ser adquiridos de forma receptiva, cuando el
contenido es dado o presentado totalmente acabado, o el nuevo conocimiento
puede ser elaborado, reconstruido o descubierto. El aprendizaje constructivo o
aprendizaje por descubrimiento quiere promover un aprendizaje autónomo tanto
dentro como fuera de la escuela, llevando al alumno a la capacidad de juzgar y
actuar críticamente, apuntando a la capacidad de seguir aprendiendo "aprender
a aprender". El proceso de aprendizaje no es una transmisión de
conocimientos dados sino, propicia ayudas para un aprendizaje activo.
1.5.
MODELOS DIDÁCTICOS CENTRADOS EN EL ACTUAR DEL PROFESOR
O PROFESORA
Comúnmente se identifica con este modelo la
enseñanza frontal, que ha sido criticada y dada de baja por los teóricos de la
educación, pero sigue vigente en la práctica pedagógica, y frecuentemente
reviste todos los males de una enseñanza tradicional, expositiva, memorística y
repetitiva. El contenido, mayormente de naturaleza cognitiva, es presentado
totalmente acabado y el agente principal es el profesor. Generalmente es un
aprendizaje estandarizado para un grupo grande (20 a 40 personas), sin recursos
didácticos y metodológicos innovadores.
Aunque actualmente se priorizan los modelos
más participativos, no deja de tener vigencia una buena enseñanza con enfoque
informativo y hay autores actuales (Cpr.Grell/Grell 1999) que insisten en la
importancia de los modelos didácticos centrados en el actuar del profesor(a),
pues consideran que la mejor motivación para el aprendizaje no es la motivación
y elaboración, sino una información clara a los alumnos acerca de lo que van a
aprender.
Seifert (1994) considera que los modelos
centrados en el profesor significan exposiciones frente a un grupo de personas
interesadas en temas específicos que deben cumplir los siguientes objetivos:
- Informar acerca de datos y hechos actualizados
- Convencer al oyente de la importancia y utilidad de la
oferta
- Motivar para seguir indagando e investigando
Una objeción básica a este modelo es la
receptividad mayormente pasiva de los alumnos, quienes pueden influenciar muy
poco en lo que quieren aprender o cómo quisieran aprender, pues es una oferta
estandarizada en la cual no se sabe, si el alumno entendió, si lo incorporó a
su estructura mental dada o no, pues depende de su capacidad de concentración,
de atención, de comprensión, de su nivel de abstracción cognitiva y de poder
estar sentado y callado un buen tiempo.
El sentido que se activa mayormente es el
oído y por consiguiente el aprendizaje real, según la psicología del
aprendizaje, queda reducido a un 20%. Es conveniente, que en el procesamiento
de la información, se utilicen diferentes canales, para que la retención sea
mayor. El cuadro siguiente nos ilustra cuánta información retenemos:
Nosotros no queremos condenar un buen modelo
didáctico centrado en el profesor, porque una buena exposición, la demostración
de un experimento, una conferencia magistral, acompañadas con medios visuales
pueden resultar esenciales, ya que de lo contrario, llevarían mucho tiempo para
ser elaborados por los alumnos mismos, o revestirían mucha dificultad. Pueden
ser aprendizajes altamente significativos, pero deben ser complementados por
modelos didácticos de mayor intervención de las alumnas y alumnos.
CAPÍTULO II
DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA
2.1. EPISTEMOLOGÍA DE LA
DIDÁCTICA MATEMÁTICA
Mario Bunge (1985)
identifica a la epistemología con la filosofía de la ciencia, entendiéndola
como la rama de la filosofía que estudia el conocimiento. Otros autores remiten
a la teoría del conocimiento, cuando se estudia la naturaleza, origen y valor
del conocimiento.
Dentro de este marco de
referencia nos interesa analizar aspectos referidos a la didáctica de la
matemática, tratando de inferir relaciones entre los conocimientos didácticos y
su naturaleza, así como también identificar la posible existencia de teorías
específicas acerca de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática
2.2. TEORIZACIÓN DE LA
DIDÁCTICA MATEMÁTICA
|
La didáctica estudia
entonces, la comunicación de los saberes y tiende a teorizar su objeto de
estudio, pero sólo puede responder a este desafío bajo
dos condiciones:
Ø Poner en evidencia, fenómenos específicos, que los
conceptos originales que ella propone, parecen explicar.
Ø Indicar los métodos de pruebas específicas que utiliza
para ello.
Estas
dos condiciones son indispensables para que la
didáctica de la matemática pueda conocer
de modo científico su objeto de estudio y permitir, en consecuencia, acciones
controladas sobre la enseñanza.
Ahora bien,
si lo que se espera de la
didáctica es que aporte soluciones prácticas a los problemas
cotidianos del profesor, ¿es necesario
construir una teoría sobre la didáctica?
Wenzelburger (1990), expresa "por esto, es necesario
construir teorías ya que constituyen una guía
para el planteamiento de problemas de investigación y para
interpretar los resultados de las mismas".
Un marco teórico permite sistematizar los
conocimientos dentro de una disciplina, lo que constituye un primer paso para
conseguir una visión clara de la unidad
que pueda existir en nuestras percepciones. La teorización es un requisito para que
un área de
conocimiento alcance la categoría
de científica y pueda desempeñar su
papel explicativo y predictivo de fenómenos;
puede decirse que la investigación científica
significativa está siempre guiada por una teoría, aunque a veces lo sea de un modo implícito.
2.3. EL GRUPO PME (PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS
EDUCATION)
En
la comunidad internacional de investigadores en Educación Matemática, se
aprecia también una fuerte presión de la perspectiva psicológica en el estudio
de los procesos de enseñanza-aprendizaje matemático. Consideramos que este
predominio del enfoque psicológico de la investigación no tiene en cuenta el
necesario equilibrio y principio de complementariedad entre las cuatro
disciplinas fundacionales de la Educación Matemática descritas por Higgison
(1980). El citado predominio se manifiesta viendo la vitalidad del Grupo
Internacional PME (Psychology of Mathematics Education), constituido en el
Segundo Congreso Internacional de
Educación
Matemática (ICME) y que ha celebrado en 1991 su 15 Reunión Anual. Los objetivos
principales de este colectivo abierto de investigadores, tal como aparecen en sus
estatutos, son:
-
Promover contactos internacionales e intercambio de información científica
sobre la Psicología de la Educación Matemática.
-
Promover y estimular investigación interdisciplinar en esta área con la cooperación
de psicólogos, matemáticos y profesores de matemáticas.
-
Fomentar una comprensión más profunda y correcta de los aspectos psicológicos
de la enseñanza y aprendizaje de la matemática.
2.4 APRENDIZAJE MATEMÁTICO Y CONSTRUCTIVISMO
Dentro
del enfoque psicológico, un problema esencial es la identificación de teorías
acerca del aprendizaje matemático que aporten un fundamento sobre la enseñanza.
Romberg
y Carpenter (1986) afirman que la investigación sobre aprendizaje proporciona
relativamente poca luz sobre muchos de los problemas centrales de la
instrucción y que gran cantidad de la investigación sobre enseñanza asume
presupuestos implícitos sobre el aprendizaje infantil que no son consistentes
con las actuales teorías cognitivas del aprendizaje. Se han tratado de aplicar
teorías generales (fundamentales) sobre el aprendizaje para deducir principios
que guíen la instrucción.
2.5 APRENDIZAJE
MATEMÁTICO Y PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
Como
afirma Orton (1990), no existe ninguna teoría del aprendizaje de las
matemáticas que incorpore todos los detalles que cabría esperar y que tenga una
aceptación general. Según este autor se identifican en la actualidad dos
corrientes de investigación sobre este campo: el enfoque constructivista,
considerado anteriormente, y el enfoque de ciencia cognitiva - procesamiento de
la información, de fuerte impacto en las investigaciones sobre el aprendizaje
matemático, como se pone de manifiesto en el libro de Davis (1984).
Según
Schoenfeld (1987) una hipótesis básica subyacente de los trabajos en ciencia
cognitiva es que las estructuras mentales y los procesos cognitivos son
extremadamente ricos y complejos, pero que tales estructuras pueden ser
comprendidas y que esta comprensión ayudará a conocer mejor los modos en los
que el pensamiento y el aprendizaje tienen lugar. El centro de interés es
explicar aquello que produce el "pensamiento productivo", o sea las
capacidades de resolver problemas significativos.
2.6
LA MATEMÁTICA COMO OJETO DE ENSEÑANZA.
En lo que
va del presente siglo y hasta
hace poco tiempo, la concepción filosófica dominante sobre la matemática ha sido formalista, que grosso modo, nos presenta a esta disciplina como un cuerpo estructura- do de
conocimiento conformado por
los objetos matemáticos, las
relaciones entre ellos y los criterios para validar resultados,
dentro de un marco axiomático-de- ductivo. El formalismo exige extirpar el significado de los objetos a fin
de trabajar exclusivamente con las formas y con
las relaciones entre dichos objetos que se derivan de la base axiomática de las
teorías.
La
actividad matemática producto de esta
concepción ha sido
sumamente fructífera, baste
observar la gran cantidad de
resultados surgidos en el presente siglo.
Sin embargo, esto mismo no puede decirse de la práctica
educativa que se deriva de una concepción formalista de la matemática.
La
epistemología de la matemática que
domina la "enseñanza tradicional", tiene raíces
históricas lejanas, que se remontan a la época de la antigua Grecia.
Para Platón, los
objetos matemáticos así como las
relaciones entre ellos, tienen una
realidad, externa e independiente
de quien conoce, en el
mundo de las ideas. Conocer, para
Platón, significa re-conocer, trasladar este
cuerpo de objetos y relaciones
preexistentes en un mundo exterior e implantarlos en el intelecto del individuo. La
tesis fundamental de esta
postura epistemológica, que
podemos llamar realismo mate- mático, es la separación explícita
entre el sujeto cognoscente y el objeto de conocimiento.
Este
realismo epistemológico es modificado por Aristóteles quien le da un matiz empírico, al trasladar los objetos de la
matemática del mundo de las
ideas de Platón a la Naturaleza
material; conocer, en este caso,
significa reconocer los objetos matemáticos, mediante procesos de abstracción y
generalización, en los objetos corpóreos de la naturaleza.
Ambas
concepciones, la idealista de Platón y la empirista de Aristóteles, parten de la premisa fundamental de que los objetos
de la matemática y sus relaciones están dados, su existencia no depende
del sujeto que conoce, ya que preexisten
a él.
Bajo esta concepción, la matemática puede ser
vista como un “objeto de enseñanza”: el matemático la “descubre” en una
realidad externa a él. Una vez des- cubierto un resultado matemático, es
necesario “justificarlo” dentro de una
estructura formal y queda listo
para ser
enseñado. Esta concepción
epistemológica, encaja dentro de la posición formulada por el empirismo
lógico del siglo veinte, “contexto de descubrimiento/contexto
de justificación”. El realismo suministra el contexto de descubrimiento,
mientras que el formalismo nos da el contexto de justificación.
CAPÍTULO III
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA A APLICADA A LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
3.1.
La resolución de problemas: un reto
para la educación matemática contemporánea.
Autor: Israel Malario
Triana
3.2.1.
Revisión de algunos modelos de
resolución de problemas.
Comenzamos con una
reflexión sobre Ios modelos de resolución de problemas que se reconocen como
los más influyentes en Ia Didáctica de la Matemática y de las Ciencias en
general para de esta forma ubicar la influencia que la resolución de problemasha
tenido en Ias investigaciones y la práctica docente habitual.
El análisis de diferentes
modelos de resolución de problemas que se vienen planteando en los últimos
tiempos y que se inscriben en diversas tendencias permite categorizarlas de
forma general en diferentes tipos, unos con orientaciones de tipo psicológico,
psicológico o idiosincrásico y otros, de tipo filosófico-científico. Aunque en
ocasiones resulta difícil precisar la filiación de un modelo en algún apartado,
estos se pueden caracterizar brevemente en:
1. Las investigaciones que se ocupan de
contrastar los mecanismos incorporados por aquellos resolutores con mejores
desempeños para los cuales se comparan los procedimientos utilizados por
expertos y novatos.
2. Las investigaciones algorítmicas, que
se proponen aumentar la efectividad en la resolución de problemas mediante la
prescripción exacta del orden determinado en que han de ejecutarse un sistema
de operaciones para resolver todos los problemas de un cierto tipo. Tienen un
componente importante de indicaciones dadas a través de un programa de acciones
y operaciones.
3. Las investigaciones que consideran la
creatividad como elemento fundamental en el proceso de solución.
4. Las investigaciones que consideran que
pueden conseguirse avances en el proceso de resolución a través de un cambio
conceptual, metodológico y actitudinal.
En nuestro país también es
posible identificar un conjunto de investigaciones sobre resolución de
problemas que tienen en común su fundamentación en la psicología soviética y el
pensamiento pedagógico cubano, sin dejar de considerar otros aportes
significativos a la práctica pedagógica.
Estos trabajos han
aportado reflexiones en torno a la enseñanza de la resolución de problemas.
A continuación se realiza
un análisis de algunos modelos de resolución de problemas que por su
trascendencia constituyen una importante referencia en trabajos sobre
resolución de problemas.
-
Modelo de G. Polya.
La propuesta de modelo
teórico de resolución de problemas de G. Polya, a partir de su libro “Cómo
plantear y resolver problemas" consta de cuatro fases, que se consideran
esenciales para fundamentar algunos puntos de estudio. Esto se debe a que todos
los modelos de resolución de problemas derivados a partir de este trabajo,
están estructurados a partir de un fundamento común, las cuatros fases
expuestas por este autor, y que propone los siguientes pasos:
·
Aceptar
y comprender las condiciones del problema.
·
Planificar
su solución.
·
Llevar
a cabo el plan planificado; y
·
Comprobar,
verificar la solución.
Esta propuesta no indica
más que una coincidencia estructural esencialmente formal entre los distintos
modelos de resolución de problemas y apunta a consideraciones básicas comunes a
todos losproblemas.
Los trabajos de resolución
de problemas se han proyectado a la búsqueda de otros modelos y propuestas más
actuales para reforzar la resolución de problemas. No obstante, se estima que
el modelo de G. Polya y sus etapas, están presentes de una forma u otra en
modelos posteriores y es susceptible a ser enriquecido con nuevos elementos,
sin perder la vigencia de su propuesta.
El modelo de A. HSchoenfeld
que aparece en el libro "Mathematical Problem Solving” (1985), presenta el
interés de retomar algunas ideas de G. Polya. Profundizando en el análisis de
la heurística y considerando las reflexiones que sobre los problemas
matemáticos se han hecho hasta ese momento en campos avanzados de la
Computación como la Inteligencia Artificial y en el de la Teoría Psicológica
del Procesamiento de la Información.
Como resultado, su trabajo
muestra una considerable superación en lo referente a categorías y otros puntos
de vista sobre el tema que nos ocupa.
Es
así, que a partir de los resultados de sus investigaciones. A.H Schoenfeld
considera cuatro dimensiones en el proceso de resolución de problemas:
1. Dominio de conocimientos y recursos:
Expresados a través de lo que el sujeto conoce y la forma de aplicar
experiencias y conocimientos ante situaciones de problemas.
2. Estrategias cognoscitivas: Categoría
que contempla el conjunto de estrategias generales que pueden resultar eficaces
para acceder a la solución de un problema. Dentro de la misma se pueden
identificar recursos heurísticos para abordar los problemas matemáticos tales
como: analogía, inducción, generalización, entre otros.
3. Estrategias meta cognitivas: Se
caracteriza como la conciencia mental de las estrategias necesarias para
resolver un problema, para planear, monitorear, regular o controlar el proceso
mental de sí mismo.
4. Sistema de creencias: Está conformado
por las ideas, concepciones o patrones que se tienen en relación con la
Matemática y la naturaleza de esta disciplina. Además, cómo esta se relaciona o
identifica con algunas tendencias en la resolución de problemas.
En relación a estos
aspectos del modelo, es importante desde el punto de vista teórico y práctico
que se consideren sus categorías cuando se explora en el pensamiento matemático
de los estudiantes, favoreciendo actividades donde se propicien la
interpretación y búsqueda de soluciones a los problemas, a manera de mostrar la
experiencia de los hechos y relaciones matemáticas en una totalidad coherente.
Pero también, y esto es fundamental, ya que no se hace evidente en el modelo,
debe quedar manifiesto el carácter social de esta ciencia.
-
Modelo de Mason-Burton-Stacey.
La selección del modelo de
J Mason. L. Burlón y K. Stacey que aparece publicado en la obra “Pensar
Matemáticamente*' (1989) para su análisis valorativo, se fundamenta en las
siguientes razones:
·
El
tránsito entre las fases de trabajo con el problema no se realiza de forma
lineal
·
La
resolución de problemas se concibe como un proceso dialéctico, donde las tareas
pueden sufrir altibajos, es decir, se puede avanzar, también retroceder Esta
característica le otorga singularidad al modelo.
·
La
persona que resuelve el problema tiene un papel fundamental, ya que sus
características una psicológicas son un recurso más a utilizar en el logro de
su objetivo.
Además, la concepción del
problema es de gran importancia didáctica, lo que se debe a:
ü Se le da un enfoque positivo al hecho
de no poder avanzar en la resolución del problema
ü Se le asigna una gran importancia a la
fase de revisión, con frecuencia no abordada con suficiente profundidad.
ü El modelo no se presenta como un
planteamiento estructurado sobre la resolución de problemas, sino que
trasciende y analiza lo que constituye el pensamiento y la experiencia aportada
por la Matemática, ilustrando una manera de enfocar la vida al mismo tiempo que
posibilita conocerse uno mismo.
Sin embargo, cuando se
reflexiona sobre el modelo, este tiene puntos concretos como el de “monitor
interior" que puede constituir una dificultad para los estudiantes que no
han desarrollado suficientemente la habilidad resolver problemas, lo que hace
difícil adaptarlo al contexto del aula, por lo que en este caso, se considera
más recomendable que el estudiante al presentar dificultades acuda a un
"monitor exterior", que puede ser el docente, un compañero de aula,
material didáctico, etc., lo que de inicio puede ser un recurso más efectivo
para favorecer la resolución de problemas.
-
Modelos de resolución de problemas que
consideran las diferencias entre expertos y novatos.
Las diferencias que se
establecen entre expertos y novatos al enfrentar los problemas es un punto de
vista ineludible en los trabajos de investigación.
El estudio de las
diferencias entre expertos y novatos se incluye en el campo de la Psicología
Cognitiva y tiene su origen en la extensión de los estudios relativos a la
concepción del aprendizaje como procesamiento de información. El fuerte impulso
que han recibido estas investigaciones está relacionado con el desarrollo del
diseño de sistemas informáticos expertos en la solución de problemas
específicos.
Un aspecto básico del
diagnóstico que establecen estos estudios es obviamente que existen buenos y
malos resolutores. O expertos y novatos, así como la valoración de que las
diferencias entre ambos tipos de resolutores se deben a diferente
estructuración del conocimiento. De ahí que se comparan los procesos empleados
por ambos grupos en la resolución de problemas. El objetivo de estas
investigaciones es arribar a criterios que posibiliten a los novatos conocer o
acceder a formas de actuación eficientes para mejorar su desempeño al resolver
problemas.
En relación con este
modelo, y a pesar de la información que del mismo es posible obtener, se
considera que no se profundiza suficientemente aún en el porqué de las
diferencias entre expertos y novatos al resolver problemas, aunque se pueden
tener criterios al respecto. No obstante, a partir de tales diferencias se
infieren recomendaciones y pasos concretos para acortar la
"distancia" entre un tipo de resolutor y otro. Además, resulta
importante acercar a los estudiantes a desempeños expertos ya sea a través del
despliegue por parte del profesor de todas las acciones que inciden en la
resolución de un problema o favoreciendo las interacciones con otras personas,
propiciando de esta forma que los estudiantes puedan acceder en algún momento a
tal condición
-
Modelos algorítmicos de resolución de
problemas.
En términos matemáticos, y
en las Ciencias en general, se define algoritmo como el procedimiento que a
través de Ia ejecución de acciones u operaciones secuenciadas permite resolver
ejercicios o problemas de cierto tipo.
Por otro parte, se
consideran resueltos un conjunto de problemas standard o tipo cuando se ha
encontrado un algoritmo de solución, búsqueda que además no se excluye de los
propósitos esenciales de la Matemática.
Partiendo de formulaciones
análogas a las que se exponen en los modelos de resolución de problemas basados
en el procesamiento de la información (A. Newell y H.A. Simón, 1972), es decir,
aquellos que suponen que el funcionamiento del cerebro humano se puede
describir a través de algoritmos matemático se incorporarlos en programas
computacionales, desconociendo el componente afectivo, las motivaciones, entre
otras características de los seres humanos, han surgidos modelos de resolución
que tratan de establecer similitudes entre lo que hacen las computadoras,
cuando procesan la información y lo que hace la mente humana para enfrentar
problemas (R.Chrobak. 1998).
En consecuencia, se admite
que de esta forma sólo se enseña a los estudiantes a resolver problemas que
puedan remitirse a algún problema tipo cuya solución se trata previamente, lo
que se corresponde con la teoría del procesamiento de lo información en la cual
se enmarca este método.
Desde otro punto de vista
N. Krinitski (1988, pp.42-43) atribuye un valor peculiar a los algoritmos
acumulados en Matemática, ya que esta rama penetra en otras ciencias y su
riqueza es el tesoro de todas las ciencias, y argumenta:
Los algoritmos son:
1) una forma de expresar
resultados científicos;2) una guía para la acción al resolver los problemas ya
estudiados, y como consecuencia: 3) un medio que permite economizar el trabajo
intelectual: 4) una etapa necesaria al automatizar la solución de problemas: 5)
un procedimiento (instrumento) que se utiliza para investigar y resolver nuevos
problemas (sobre todo eso se refiere a los algoritmos matemáticos); 6) uno de
los medios de renovación de las matemáticas; 7) uno de los modos para describir
procesos complejos.
Los criterios, muy
justificados de los autores consultados permiten se reflexione sobre este
modelo y concluir que la automatización fundamentada en algoritmos no puede
conducir a extremos, hay problemas que no puede resolver un algoritmo. Sin
embargo cuando un estudiante soluciona un problema, incorporando en su
desempeño una estrategia eficiente que puede derivar en un algoritmo para
enfrentar otros similares, y reflexiona cuando esta no puede ser aplicada y
debe buscar otros recursos, entonces, se puede confirmar la validez de su
aprendizaje. Además, aplicando algoritmos, pueden resolverse un número
significativo de problemas.
-
Modelo de resolución de problemas como
Investigación.
Son múltiples los factores
que determinan se analice ate modelo. De inicio y a partir de la clasificación
de los problemas se plantea la necesidad de tratar en clases no solamente
problemas cerrados sino además los denominados abiertos, lo que se relaciona de
forma particular con el interés de darle a la Matemática, en cierta medida, un
carácter experimental, que a veces no se tiene presente al impartir esta
disciplina. Muy en relación con el comentario anterior. M. de Guzmán el al
(1991, p.129), expresa: “La Matemática
es, en buena medida una ciencia experimental, al hacer experimentos con los
datos del problema te familiarizarás con ellos y más fácilmente se te ocurrirá
lo que debes hacer para resolverlo”.
Estas concepciones
conducen a revisar la descripción del modelo de resolución de problemas como
investigación. Se exponen a continuación sus fases principales (D. Gil etal,
1991):
a) Considerar cual puede ser el interés
de la situación problémica abordada a partir de una discusión previa sobre el
interés de la misma, que proporcione una concepción preliminar y favorezca el
interés y la motivación hacia la tarea.
b) Comenzar por un estudio cualitativo de
la situación, intentando acotar y definir de manera precisa el problema,
explicando las condiciones que se consideran reinantes, etc.
c) Emisión de hipótesis fundadas sobre
los factores de los que puede depender el resultado buscado y sobre la forma de
esta dependencia, imaginando, en particular, casos límite que den verosimilitud
a las soluciones buscadas.
d) Elaboración de estrategias previas a
la resolución que guiarán dicho proceso.
e) Resolución propiamente dicha,
verbalizando al máximo. Fundamentando lo que se hace y evitando operativismos
carente de significación.
f) Contrastación del resultado obtenido,
valorando su coherencia interna en relación a las hipótesis emitidas.
g) Considerar las perspectivas abiertas
por la investigación realizada contemplando, por ejemplo, el interés de abordar
la situación a un nivel de mayor complejidad o considerando sus implicaciones
teóricas (profundización en la comprensión de algún concepto) o prácticas
(posibilidad de aplicaciones técnicas).
A pesar de sus puntos de
contacto con la actividad investigativa, no está entre los objetivos de este
modelo reproducir exactamente el comportamiento científico, sino más bien se
trata de propiciar que los estudiantes apliquen procedimientos de probada
eficiencia en la resolución de problemas por los científicos, como son:
analizar las condiciones de la situación hasta llegar al problema preciso,
emitir hipótesis, elaborar estrategias de resolución, entre acciones incluidas
en la metodología científica.
Otra evidencia a favor de
este modelo es que integra con los procedimientos propios, otros considerados,
necesarios por diversos modelos desde orientaciones distintas, y esto no se
produce como una fusión de etapas inconexas sino de una estructura coherente y
funcional.
No obstante, a partir del
análisis, se pueden hacer algunas consideraciones acerca de este modelo, que
aunque no fue concebido para la Matemática, si tiene características que
establecen formas de trabajos accesibles a cualquier ciencia.
En primer lugar, se alerta
de que los procedimientos seleccionados en este modelo se dirigen más hacia la
metodología de la ciencia que a los procesos mediante los cuales se aprende
ciencia.
Consecuentemente, es
importante al considerar aspectos del mismo el no limitarse a implementar una
serie de técnicas que emplean los científicos (observación, interpretación,
etc.), sin dejar de mencionar que el trabajo científico se desarrolla en un
contexto más amplio y requiere de un mayor esfuerzo y dedicación, sin excluir
presiones procedentes del medio social, mayor responsabilidad, recursos, y
otras condiciones. Esta visión se debe llevar al alumno.
Se han presentado diversos
modelos que enfocan la resolución de problemas desde la perspectiva de varios
autores.
Sin embargo, se observa
que sus prescripciones se encaminan a facilitar la resolución de problemas que
no son los que generalmente se abordan en las aulas. Esto hace difícil su
implementación en el proceso de enseñanza - aprendizaje donde hay una dinámica
entre objetivos - contenidos - proceso y otros factores que conducen a la
búsqueda de recursos más próximos a las condiciones en que se desarrolla
nuestra docencia.
No obstante, dentro del
contexto teórico de referencia y por encima de la complejidad que conlleva el
estudio de todos estos modelos, no se puede perder de vista su contribución a
la práctica docente.
Por otra parte, en general
en cada modelo se considera la resolución de problema como un proceso complejo
que implica transitar por una serie de fases, pasos o etapas y aplicar
conocimientos y experiencias para llegar a una solución.
En este sentido, se
consigue con L. Campistrous y C. Rizo (1996, pp. 62-63), cuando expresan que:
“….el esquema básico de todos los procesos es el de Polya, pero consideramos
que este esquema hay que abrirlo, hay que dar recursos para profundizar en el
significado de cada paso y en el qué hacer para lograr la meta en cada caso”, y
añaden, “se busca que el alumno deje de ser objeto de enseñanza y pase a ser
sujeto de su aprendizaje, es decir, describir el procedimiento en acciones para
el alumno”.
Lo anterior es indicativo
de la necesidad de que se conciban investigaciones científicas que aborden el
tratamiento didáctico de los problemas de matemáticas en el proceso de
enseñanza – aprendizaje a partir de las necesidades o problemas que se
detecten, de manera de aportar herramientas a profesores y estudiantes que contribuyan a salvar la “distancia” que
existe entre los principios básicos generales de una disciplina y su aplicación
a la resolución de problemas.
3.2.2.
La definición de problemas y algunos
de sus problemas educativos
La experiencia demuestra
que el desarrollo de actividades docentes donde se identifiquen y resuelvan
problemas contribuye a potenciar el desarrollo de habilidades en los
estudiantes.- En este sentido, la matemática proporciona el marco adecuado para
reflexionar sobre los problemas que surgen del contenido de su propia
enseñanza.
Consecuentemente, aceptar
que resolver problemas es un elemento vital en el aprendizaje de la matemática,
implica la necesidad de que se tenga una idea clara de lo que se entiende por
problemas y como los incorporamos en las clases.
En esta perspectiva, se
considera que las situaciones de aprendizaje sustentadas en la relación de
problemas, deben tener tres elementos distintivos para que adquieran su
verdadero significado:
- Motivación: El estudiante ha de
experimentar un desafío, una contradicción que lo impulse hacia la búsqueda de
solución.
- Sincretismo: La situación se presenta
de forma tal que al inicio, no se identifican con claridad o precisión alguna
de sus componentes.
- Acciones: El estudiante debe ser
consciente de que para poder resolver el problema debe ejecutar una serie de
acciones conducentes a su solución.
Así,
se elabora la siguiente definición: “un problema es una situación o dificultad
prevista o espontánea con algunos elementos desconocidos para el sujeto, pero
capaz de provocar la realización de acciones sucesivas para darle solución”.
Por
otro lado, se considera la resolución de problemas como una habilidad, y como
tal se caracteriza y estructura posteriormente, todo ello en base a
determinadas acciones, que son las que permiten acceder a las vías para
resolver los problemas.
La
realización de acciones con un propósito determinado es producto del desarrollo
social que van alcanzando las personas a través de su actividad. En este
proceso, en la medida en que el hombre adquiere conocimientos teóricos y los
lleva la práctica, llega a dominar la solución a manera de “saber hacer”,
condición indispensable para la realización de cualquier actividad. A
continuación se define la habilidad resolver problemas de matemáticas y se hace
una caracterización de la misma.
3.2.3.
Definición de la habilidad resolver
problemas de matemática:
“Proceso
que implica la realización de una secuencia o serie de acciones para la
obtención de una propuesta adecuada a una dificultad con intención de
resolverla, es decir, la satisfacción de las exigencias (meta, objetivo) que
conducen a la solución de problema matemático”.
Se
considera que esta definición enfatiza el carácter de proceso con que se
identifica a dicha habilidad en este estudio, lo que corresponde al hecho de
descomponerse en diferentes acciones progresivas que se deben desarrollar
integralmente, sucediéndose unas de otras hasta obtener un resultado (la
solución del problema matemático).
3.2.4.
¿Cómo contribuir a desarrollar la
habilidad resolver problemas de matemática?
No
es fácil dar respuesta a esa pregunta,
ni tampoco su respuesta es única. La solución pedagógica adecuada a
todas las interrogantes que tenemos los educadores de estos días no es
precisamente una tarea exenta de dificultades; el reto es grande y la meta se
ubica en acercarnos al problema educativo y su solución. Sin embargo, se puede
aportar algunas recomendaciones en función de las variables sobre las que se
ocasiona y que resultan de utilidad para mejorar el desempeño de los
estudiantes en la resolución de problemas.
- Sistema
de acciones para resolver problemas de matemáticas.
Entre
las cuestiones teóricas que se plantean sobre la actividad, nos interesa
particularmente aquella que se refiere al análisis estructural – operacional de
la habilidad resolver problemas de Matemática.
Este
interés se relaciona fundamentalmente con el propósito de determinar un sistema
de acciones lo suficientemente generales como para que una vez aplicado a la
resolución de cualquier problema matemático de los que se abordan en el aula,
se pueden transferir, mediante la enseñanza adecuada, a cualquier situación
nueva que se presente a los estudiantes. Por ello, se específica que en este
trabajo cuando se refieren acciones generales, no quiere decir acciones
universales. El carácter general de las acciones es siempre relativo, ya que se
relaciona con aquellos tipos de problemas a cuya solución se puede acceder
mediante la aplicación de tales acciones.
El
docente solo puede indicar ciertas formas de llegar a la solución del problema
que en parte orienten las acciones del estudiante, pero no las determinan
completamente. El resolutor debe mientras resuelve el problema, encontrar y
llevar a cabo las acciones que la situación requiera. De hecho es posible
conocer o prever todas las operaciones que sean necesarias para resolver un problema.
Para resolver múltiples problemas la cuestión no es simplemente la de aplicar
ciertos conocimientos y medios de acción a una situación concreta, más
bien se trata de aprender lo que aún no
se ha aprendido y de descubrir lo desconocido. Además, las operaciones que
implica la resolución de problemas son muy diversas para presentarlas en una
lista completa y definitiva.
Sin
embargo, se concuerda con L.N. Landa (1978), cuando expresa que enseñar a
actuar con base en el conocimiento de las acciones facilita y acelera
considerablemente el desarrollo de habilidades, y aun tiempo mejora su calidad.
El conocimiento de las acciones permite rápida de las operaciones. De esta
manera, el desarrollo de una habilidad se manifiesta a través del ajuste de las
acciones que el estudiante debe hacer a las condiciones del objeto.
A
partir de estos argumentos, y considerando las fases de los modelos de
resolución de problema y la experiencia adquirida por el autor a través de
quince años de labor docente, se formula el siguiente sistema de acciones para estructurar la habilidad resolver problemas de Matemática.
- Descripción
del sistema de acciones para resolver problemas de Matemática.
1. Analizar
el problema.
Esta
acción se manifiesta desde el momento en que el estudiante enfrenta el problema
y trata de descomponerlo en sus partes integrantes con el objetivo de
identificar los datos que le aporta el enunciado, las relaciones establecidas
entre los diferentes componentes de la situación planteada y, simultáneamente,
determinar las interrogantes que debe responder. Se trata de un análisis
estructural, cualitativo y operacional. Esta actividad analítica se complementa
con otra de síntesis en la cual se logra una restructuración consciente de la
situación que se desea resolver.
2.
Generar estrategias de trabajo.
Esta
acción consiste en que el alumno se plantee una visión general del
procedimiento o procedimientos que conduzcan a la solución del problema, es
decir, planifique una estrategia directriz para evitar el proceder de modo prematuro
sin disponer de un plan para obtener la solución.
3.
Valorar las consecuencias de la
aplicación de la estrategia que se considere más adecuada.
El
pronosticar sobre las consecuencias de una forma específica de proceder para
resolver un problema y posteriormente observar su cumplimiento, es también una
acción mental. Supone la capacidad de pensar antes de actuar, de predecir cómo
será la acción o ejecución y habitúa al estudiante a realizar esta “práctica
cognitiva previa” con mayor eficacia.
Al
seleccionar entre varias estrategias “la
mejor opción” se debe tener en cuenta que esta es una acción que conduce al
estudiante del modo más ventajoso a la solución de un problema.
4.
Ejecutar o desarrollar la estrategia
seleccionada.
La
ejecución consiste en la aplicación sistemática de las operaciones y los medios
de trabajo previstos para solucionar el problema.
Su
desarrollo supone el dominio eficiente de modelos, estrategias y procedimientos
de resolución de problemas, que permiten realizar acciones progresivas que
conducen a un resultado, la solución del problema.
5.
Evaluar los logros y dificultades
durante la ejecución.
Esta
acción consiste en ir valorando los aciertos y deficiencias a través de todo el
proceso de resolución del problema matemático de manera de realizar los ajustes
necesarios que posibiliten la correcta solución del problema.
A
lo largo de la descripción presentada, es fácil constatar que el objetivo de
las acciones en la resolución de problema (léase:
analizar-generar-valorar-ejecutar-evaluar) es siempre transformar una situación
inicial (dada por el problema) en una situación final (lo que se busca,
resultado, tesis).
-Tareas.
Las
tareas constituyen un conjunto de propuestas concretas a que se enfrenta el
estudiante y que tienen la finalidad de modelar las acciones que conforman la
habilidad resolver problemas de Matemática, es decir, es la vía para lograr el
desarrollo de habilidades. Así, el sistema de tareas está formado por los
siguientes tipos de tareas:
1. Las enfocadas a la comprensión conceptual.
2. Resolver los problemas de lápiz y
papel.
3. Resolver problemas a través de una
pequeña investigación.
Con
la planificación de las tareas del primer tipo se tuvo en cuenta que las mismas
tributen a la resolución de problemas matemáticos, ya que el desarrollo de
habilidades cognoscitivas (donde se incluye la resolución de problemas de
Matemática) está estrechamente vinculado con la comprensión teórica de los conceptos, así como de los teoremas y
propiedades relacionados con estos conceptos. Para las tareas del segundo tipo
se elaboran un conjunto de problemas que se orientan a los estudiantes durante
el desarrollo de las clases para resolver tanto dentro como fuera del aula. El
tercer tipo de tarea, constituyó una manera de involucrar a los estudiantes y
hacerlos trabajar en la búsqueda independiente o grupal de la solución a través
de una pequeña investigación mediante la cual el propio alumno, al detectar la
existencia de un problema por lo general abierto, la formula independiente,
llega a conclusiones y valida los resultados. De esta manera se pretende
favorecer el aprendizaje de la Matemática como ciencia, con un marcado carácter
científico-experimental, sobre la base de las conclusiones concretas de la
enseñanza superior y de las experiencias acumuladas, además de permitir la
“visualización social” de las situaciones matemáticas al enfocar la práctica
del aula en un contexto social determinado.
Por
otra parte, para lograr que los estudiantes sean capaces de resolver los
problemas independientemente y a la vez garantizar un adecuado nivel de
generalización de la acción, se identifican las características estructurales
más sobresalientes de las tareas. Desde un punto de vista práctico, este
análisis estructural permite que se planifiquen diversas variantes en la
presentación de las mismas. Pero además, un supuesto básico fundamental en todo
entrenamiento para la formación de habilidades que transformen o transfieran
las condiciones de aprendizaje de una situación a otra.
Así
pues, para lograr un adecuado nivel de generalización de la acción se tuvo en
cuenta que en la estructura de las tareas se presentaran las mas diversas
variantes combinatorias de los siguiente elementos:
a) La estructura matemática del problema:
dada la cantidad de operaciones a realizar y por las dificultades conceptuales
que impliquen su solución.
b) La forma de estructurar el problema
(oral, escrita, gráfica, etc); considerando los siguientes aspectos:
ü Tipo de enunciado (abierto, cerrado,
irreal, académico)
ü Grado de conocimiento de la situación
de problema (conocida, poco conocida, desconocida).
ü Preguntas (al final de problema, al
comienzo del problema, numero de preguntas, etc)
ü También se consideró en la
estructuración de la tarea: el vocabulario y la estructura de las frases del
enunciado, la organización de la información, los aspectos visuales (tablas,
gráficas, entre otras ilustraciones, etc).
Se
observa que un mismo problema se puede considerar para ilustrar los diferentes
aspectos que combinan en la estructura de una tarea, esto significa que en los
problemas, por lo general, dichos elementos no se presentan aislados, sino
integrados en una misma situación.
-Medios de Enseñanza: En esta
experiencia pedagógica, se conciben los siguientes medios:
Ø Orientaciones
para resolver problemas de Matemática: Constituyen un “ordenamiento” de las operaciones
necesarias para la realización exitosa de las acciones de la habilidad resolver
problemas de Matemática. Estas oraciones se dieron a los estudiantes de forma
oral al resolver los problemas en clase.
Ø Folleto
para los estudiantes con problemas resueltos: Contiene un conjunto de problemas que recorren los
contenidos fundamentales del programa de las asignaturas pero presentados con
apuntes sobre los conceptos aplicados y describiendo con detalles los pasos
seguidos durante la resolución.
Ø Hoja
de trabajo de los estudiantes:
Son las hojas donde los estudiantes resuelven los problemas, estos contienen
las tareas a resolver y se van integrando hasta conformar un cuaderno. A su
vez, la estructura de la Hoja de Trabajo ofrece la posibilidad al docente y al
estudiante de ir valorando las insuficiencias y los progresos alcanzados
durante el transcurso de la experiencia, ya que se anotan, en el espacio
disponible a tal afecto, las dificultades y logros detectados al analizar tanto
el resultado como el proceso mediante el cual los alumnos acceden a la solución
del problema.
Ø Guía
didáctica del estudiante para la resolución de problemas de matemática: Conjunto de preguntas y
recomendaciones metodológicas que se elaboran y ordenan mediante el trabajo
interactivo entre el profesor y los estudiantes con el objeto de orientar el
proceso de resolución de problemas. Las informaciones que reciben los
estudiantes a través de esta guía conducen sus esfuerzos en la resolución de
los problemas. Por tanto, su objetivo es ayudar al alumno cuando por sí mismo
no puede resolver el problema y necesita de indicaciones o apoyo externo.
Por
otra parte, aunque la incorporación de los medios computacionales no están en
laproyección de este trabajo, se considera conveniente aclarar que en algunos
momentos de la experiencia resultó apropiado el trabajo con algunos sistemas
algebraicos (DERIVE, MATHEMATICA), de manera de proporcionar también estas
experiencias a los estudiantes.
3.2.
¿Cómo favorecer el desarrollo de
habilidades en la resolución de problemas?
Autor: Israel Mazarío
Triana
Ana Cecilia Mazarío Triana
Como parte del Sistema Didáctico de la
disciplina Matemáticas Superior se ha tenido en consideración en la
organización del proceso docente educativo, la inclusión de actividades cuyo
objetivo es desarrollar en los estudiantes habilidades para resolver problemas,
con lo que se cumple un importante postulado que basado en la teoría de la
actividad expresa “no se puede separarar el saber, del saber hacer, porque
siempre saber es saber hacer algo, no puede haber un conocimiento sin una
habilidad, sin um saber hacer”(Talazina1984).
Los primeros pasos, como es lógico de
suponer, fueron realizados sin contar con una base teórica que guiará las
acciones, posteriormente se fueron presentando a los estudiantes los modelos
teóricos de la resolución de problema de Polya (1969) y el modelo de
Masos-Burton-Stacey (1988), los cuales fueron seleccionamos por presentar una
visión global que, nos permite descubrir relaciones que cada problema muestra
en “el universo” de su enunciado.
En lo que respecta a la solución de
problemas, se llega al consenso de que “la categoría y forma de pensamiento
asociada a esta actividad” debe tener atención preferencial, y que para
desarrollar las habilidades necesarias para tener buenos resultados, deben
tratarse contenidos específicos cuyo nivel de dificultad no impida de inicio al
estudiante observar el proceso. El entrenamiento en esta área de trabajo se
encamina a lograr que el estudiante ponga en ejecución las habilidades iniciales
para resolver problemas, entre las que se incluyen identificar, separar, y
establecer vínculos entre los diferentes
elementos que aparecen en el problema, simultáneamente se cambia de modalidad
de presentación de un problema, a otra (escrito, verbal, gráfica, etc.).
El trabajo se realiza con grupos de un
máximo de 20 estudiantes, seleccionando los problemas, teniendo en cuenta la
incorporación gradual de dificultades, que permitan centrar la atención en:
ª
Representación
unidimensional
ª
Representación
bidimensional
ª
Representación
tridimensional
ª
Representación por tablas lógicas
ª
Representación
por simulación (en casos de ser posible)
En todos los casos se ha tratado
de vincular estos problemas al perfil
profesional del grupo de estudiantes.
Las formas organizativas del proceso
docente – educativo y la metodología seguida en el trabajo en el aula es la
siguiente.
1.
Conferencia:
clases “teóricas” donde el docente expone para presentar e ilustrar las
aplicaciones de una metodología.
2.
Clases
prácticas: clases donde se realizan ejercicios con el objetivo de valorar las
actividades que van adquiriendo los estudiantes y, señalar y trabajar en las
dificultades propias del proceso.
3.
Talleres:
sesiones prácticas que incluyen cuatro momentos o fases, los cuales se
describen a continuación:
a)
Introducción:
el facilitador presenta el problema o situación problémica. Explican las
dificultades a través de su expresión oral.
b)
Ejecución
o practica: los estudiantes se organizan en equipos de trabajo (con un máximo
de 5 estudiantes cada uno) designa secretario y ponente y escriben las soluciones
a los problemas planteados por el facilitador.
c)
Procedimientos:
cada equipo presenta y explica sus respuestas, es decir, la puesta en común en
el grupo – clase. El facilitador orienta, aclara e induce a hacer comparaciones
entre las diferentes representaciones de los procesos realizados (los que
incluirán todas las imágenes mentales conjuntamente con los procesos).
d)
Conclusión:
el facilitador resume los logros fundamentales alcanzados por los diferentes
equipos que conforman el grupo y asignan problemas adicionales como ejercicios.
Se debe aclarar que, la organización
del grupo por equipos y la comunicación que este propicia se manifiesta de
experiencias que van produciendo inquietudes en búsqueda de fundamentación
teóricas de las acciones. Como producto de estos debates se van incorporando
nuevas herramientas y sugerencias heurísticas en el trabajo con los
estudiantes.
El trabajo en los talleres se realiza
de forma tal que algunos estudiantes se desempeñen como observadores y otros
como sujetos, rotándose esta responsabilidad en las diferentes actividades que
se planifiquen:
El observador procede de la siguiente
forma:
a)
Lee
cuidadosamente el problema.
b)
Se
familiariza con el problema o situación problemática y en una hoja de trabajo
registra las ideas fundamentales que se exponen.
c)
Recoge,
con el mayor grado de precisión posible, los procesos del pensamiento
expresados por el sujeto; realizando preguntas, si es necesario para
puntualizar y aclarar la conducta del sujeto, pero evitando avaluar la conducta
de este y absteniéndose de emitir criterios que puedan dar ayuda en la búsqueda
de soluciones.
El sujeto procede de la siguiente forma:
a)
Expresa
en voz alta lo que piensa en la medida que presentan el resultado de su
trabajo, es decir, expone todas las ideas que pasan por su mente.
b)
Cuenta
con tiempo limitado para producir y emitir ideas en torno al problema de
estudio.
c)
Debe
tener conciencia del hecho de no poder llegar a la solución del problema.
Se sugiere que, para el trabajo con
estos grupos pequeños se organice un marco adecuado, que puede ser en ambiente
de mesa redonda, lo que resulta novedoso a los estudiantes y en donde los
practicantes sean estimulados a expresar sus ideas acerca de los principales
obstáculos que confrontan al resolver problemas. El facilitador, al detectar
alguna dificultad, asigna problemas (que han sido previamente clasificados como
los adecuados, para que el estudiante valore la importancia de aplicar
determinada estrategia), estos deben ser resultados de forma independiente. El
análisis de los resultados se hace un grupo; de
cada practicante expone sus criterios e ideas y con la participación de
todos, se refuerzan las conductas positivas y se sugieren las recomendaciones
para corregir las dificultades y validar los resultados.
No se debe dejar de mencionar que el
trabajo con estos grupo – clase, se ha incorporado un conjunto de actividades
docentes (conferencias, clases de prácticas), sobre resolución de problemas,
con el objetivo de entrenar a los practicantes en algunos temas del programa de
estudio, se debe propiciar además la reunión por equipos semanal o
quincenalmente (en sesiones de 2 horas de duración, fuera del horario de
clases), guiados por alumnos aventajados que han sido previamente orientados
por el profesor.
Esto permitió en general organizar
para las clases la siguiente estrategia de trabajo:
a)
Se
hace llegar a cada estudiante información oral o escrita acerca del contenido o
texto del problema (la solución debe estar relacionada perfectamente con la
temática objeto de estudio en ese momento o integrar diferentes temas de plan
de estudios).
b)
Cada
estudiante cuenta con una hoja de trabajo donde registrar su plan o estrategia
de resolución.
c)
Los
estudiantes trabajan de forma individual o por equipos (según considere conveniente
el facilitador). En busca de soluciones.
d)
El
facilitador orienta el proceso y estimula el trabajo independiente y creador.
e)
Todos
los practicantes, en forma rotativa, van exponiendo sus ideas.
f)
El
resto de los estudiantes preguntan, comparan y aportan sus reflexiones para
prefeccionar el trabajo.
g)
El
facilitador resume lo realizado y ofrece al grupo la posibilidad de valorar los
resultados, antes de emitir sus conclusiones finales.
El conjunto de pasos seguidos con
anterioridad tiene como objetivo general que el estudiante aplique en su
actividad los procedimientos y estrategias que aportan diferentes modelos
teóricos en solución de problemas y que están en estrecha relación con
contenidos del programa de estudios de la matemática superiory otros procedentes.
En la misma medida se hace énfasis en los procesos de identificar, comparar,
modelar y solucionar, habilidades que se consideran de primordial importancia
en la resolución de problemas, y “…que le permiten disponer de un modo de
pensar matemático que atribute al modo de actuar que aspiremos formar durante
la carrera…(Hernández, 1990).
Todo el proceso de trabajo expuesto
contribuye a que los estudiantes desarrollen habilidades es la resolución de
problemas de esta forma “aprendan a aprender”. Tal como requiere la enseñanza
en nuestros tiempos, razón por la cual insistimos en considerar que cada
actividad se desarrolle en un ambiente adecuado donde el estudiante disponga de
suficiente orientación e información para comprender con éxito esta tarea, mantener
la motivación en el grupo de estudiantes, controlar adecuadamente el trabajo
individualy grupal evaluando críticamente los aspectos negativos y positivos
que se manifiesten en el proceso de aprendizaje, uso racional del tiempo y
programación del número de actividades indispensables para el logro de este importante objetivo tanto desde el punto
de vista docente como profesional.
Se ha contado con valiosas opiniones
emitidas por estudiantes y profesores consultados sobre la metodología
aplicada, las cuales consideramos de interés reflejar y que podemos resumir:
Los estudiantes manifiestan que estas
actividades dedicadas al tratamiento de problemas les sirven para ganar
claridad en la aplicación de los conocimientos recibidos en la disciplina
matemática superior a situaciones problémicas, notan cambios positivos en su
forma habitual de auto prepararse, una mayor motivación y responsabilidad en
los estudios, mejora la comunicación con sus compañeros de aula y profesor y
les permite explorar y darse cuenta de sus recursos individuales.
Los
docentes por su parte resumen sus criterios en los siguientes aspectos:
Considerable nivel de aplicación, tanto desde el punto de vista personal como
académico – profesional, lo que posibilita transferir lo aprendido en la
Matemática Superior a otras asignaturas específicas (lo cual se logra
seleccionado problemas de diferentes campos del conocimiento), excelente
oportunidad de apreciar el nivel de desarrollo que van alcanzado los
estudiantes a través del curso, comprobar el grado de conceptualización y
profundidad de la asimilación lo que permite poder valorar la necesidad de
dedicar un tiempo mayor para profundizar determinados aspectos teóricos y
trabajar de forma independiente con los estudiantes de mayor dificultad
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