Este texto cuenta
con cuatro capítulos. El primero de estos nos habla sobre el espacio, rectas y
puntos. En el segundo capítulo nos habla sobre las transformaciones geométricas
en un plano. El tercero se ocupa de los tipos de transformaciones y en el
cuarto se nos formulan algunas aplicaciones sobre los temas tratados.
UNIVERSO VOCABULAR:
Plano: En geometría, un plano es
un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y
rectas; son conceptos fundamentales de la geometría junto con el punto y la
recta.
Ángulo: Ángulo es la porción de
plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto.
Espacio: Es el conjunto universo
de la geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. Dentro de él
determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas, esferas, etcétera.
Puntos: El punto tiene posición
en el espacio. Su representación más cercana es el orificio que deja un alfiler
en una hoja de papel o un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no
tiene grosor.
Simetría: Correspondencia de
posición, forma y tamaño, respecto a un punto, una línea o un plano, de los
elementos de un conjunto o de dos o más conjuntos de elementos entre sí.
ORGANIZACIÓN DE IDEAS:
FUNDAMENTACIÓN:
1) Espacio, plano, rectas y puntos
1.1) Conjuntos de puntos:
Cualquier colección de puntos en el
plano complejo se denomina un conjunto de puntos, y cada punto es un elemento
del conjunto. En el plano complejo se distinguen varios tipos de conjuntos,
principalmente por sus propiedades topológicas.
1.1.1) Modelos
El
conjunto de puntos y su unión forman vértices, la unión de estos vértices
forman modelos de figuras por ejemplo: Un tetraedro.
1.1.2) Semirrectas y semiplanos
Todo
punto de una recta la divide en dos semirrectas. El punto mencionado es el
origen de ambas. Toda semirrecta tiene principio pero no tiene fin.
Si
tenemos un plano y una recta en ese plano, la recta divide al plano en dos
partes llamadas semiplanos.
1.1.3) Ángulos y triángulos
Dadas
dos semirrectas a y b, se le llama ángulo a la intersección de estas.
1.1.4) El semiespacio
Se
denomina semiespacio, a cada una de las dos partes en que un espacio queda
dividido por un plano contenido en él.
2) Transformaciones en el plano
2.1) Funciones de
puntos
2.1.1) Funciones
biyectivas
Una función es
biyectiva si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen
distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada
le corresponde un elemento del conjunto de salida.
2.1.2) Conjuntos
estables
Sea x un conjunto
de puntos definimos f(x) al conjunto de los puntos Q = f(P) donde P es un punto
de x. Se dice que x es estable en f si se cumple que f(x) = x
2.2)
Transformaciones rígidas en el plano
Llamaremos
transformación geométrica a una operación u operaciones que permiten deducir
una nueva figura (imagen) de la dada originalmente.
2.2.1) Congruencia
Dos figuras de
puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño
3) Tipos de transformaciones
3.1) Simetría
central
En una simetría central,
los segmentos homólogos son iguales y la medida de los ángulos correspondientes
también son iguales.
3.2) Simetría axial
Es la simetría
alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o axisimetría.
3.2.1)
Equidistancia de puntos y rectas
Igualdad de
distancia entre varios puntos
3.3) Translaciones
Las traslaciones
pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es
decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados
3.3.2) Primeros tres
criterios de congruencia de triángulos
Primer criterio de
congruencia: LLL
Dos triángulos son
congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
Segundo criterio de
congruencia: LAL
Dos triángulos son
congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo
comprendido entre ellos.
Tercer criterio de
congruencia: ALA
Dos triángulos son
congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los
extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama
adyacentes al lado.
3.3.3) Relaciones
entre lados y ángulos de un triángulo
3.3.4) Cuarto caso
de congruencias de triángulo
Cuarto criterio de
congruencia: LLA
Dos triángulos son
congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos
al mayor de los lados también son congruentes.
3.3.5)
Intersecciones de cevianas
3.3.6) El incentro
Es el punto en el
que se intersecan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y
es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo
3.3.7) El
cincuncentro
El circuncentro es
el punto de corte de las tres mediatrices.
3.3.8) El
baricentro
Es un punto tal,
que cualquier recta que pasa por él, divide a dicho segmento en dos partes de
igual momento respecto a dicha recta.
3.4) Rotaciones
JUICIO CRÍTICO:
Este texto no es un
texto sobre cómo enseñar matemáticas o geometría, sino que pretende ser una
guía para un curso elemental de geometría. Pero puede resultar también
interesante para los que tengan que dictar el tema.
Es un libro
interesante, pero en mi opinión para que pueda ser entendido por la persona que
lo lea, ésta tiene que tener conocimientos y gustarle la geometría, ya que lo
que se explica en este libro son teoremas un poco avanzados como para dictarse
en primaria.
En el último
capítulo se incluyen muchos ejercicios de tal modo que el lector construya sus
propios conceptos.
La mayoría de los
ejercicios componen el hilo lógico que sigue el texto, por lo tanto es
recomendable realizarlos.
CONCLUSIONES:
Este libro nos ha brindado
información que nos ha permitido establecer claramente los siguientes puntos:
·
Entender la noción de simetría con
respecto a un punto y a una recta.
·
Aprender a usar transformaciones
para identificar figuras congruentes.
·
Analizar figuras en términos de
sus simetrías por medio de transformaciones rígidas.
·
Usar la geometría de coordenadas y
transformaciones rígidas para establecer la congruencia de figuras.
·
Comprender las diferentes
representaciones para las transformaciones en el plano.
·
Usar dilataciones centradas en el
origen para describir e investigar semejanzas.
·
Construir figuras semejantes a una
figura dada usando transformaciones.
REFERENCIAS:
-
Compendio académico de geometría, (2001)
-
Geometría básica, Antonio S, (2002)
ANEXOS:
http://www.angelfire.com/ma4/g_transform/
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