GEOMETRÍA Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS

RESUMEN:

Material de lectura para maestros producido por Juan Díaz Godino y Francisco Ruiz sobre la enseñanza de la geometría en educación primaria. Se presenta organizado en tres capítulos. El primero trata de figuras geométricas, el segundo sobre transformaciones geométricas (simetría y semejanzas), y el tercer, sobre orientación espacial y sistemas de referencia.

El objetivo de este trabajo consiste en un análisis curricular comparativo de distintos programas de materias adscritas al área de didáctica de la matemática, relacionadas la geometría y su didáctica, en los planes de estudio de titulaciones de maestro en determinadas universidades españolas. Se pretende enfocar y abordar situaciones y necesidades comunes desde distintos puntos de vista, los cuales quedan plasmados en la descripción de  la metodología que cada departamento responsable de la docencia, en este ámbito concreto, señala el correspondiente programa.

UNIVERSO VOCABULAR:

-          Psicomotricidad: es una disciplina que, basándose en una concepción integral del sujeto, se ocupa de la interacción que se establece entre el conocimiento, la emoción, el movimiento y de su mayor validez para el desarrollo de la persona, de su corporeidad, así como de su capacidad para expresarse y relacionarse en el mundo que lo envuelve. Su campo de estudio se basa en el cuerpo como construcción, y no en el organismo en relación a la especie.

-          Simetría: es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.

-          Homotecias: Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.

-          Altimetría: La altimetría se encarga de la medición de las diferencias de nivel o de elevación entre diferentes puntos del terreno. Las cuales representan las distancias verticales, medidas a partir de un plano horizontal de referencia.

-          Planimetría: es la parte de la topografía que estudia el conjunto de métodos y procedimientos que tienden a conseguir la representación a escala de todos los detalles interesantes del terreno sobre una superficie plana (plano geometría), prescindiendo de su relieve y se representa en una proyección horizontal.

-          Unidad escolar: son unidades de programación de enseñanza con un tiempo determinado. La Unidad Didáctica es una propuesta de trabajo relativa a un proceso de enseñanza aprendizaje completo Este modelo didáctico aparece muy ligado a las teorías constructivistas.

ORGANIZACIÓN DE IDEAS:

FUNDAMENTACIÓN:

CAPITULO 1:

FIGURAS GEOMÉTRICAS

Conocimientos didácticos:

1. Orientaciones curriculares

2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje

2.1. Las investigaciones de Piaget sobre el desarrollo de conceptos geométricos .

Las primeras interacciones del niño pequeño con su entorno, previas al desarrollo del lenguaje, se basan casi totalmente en experiencias espaciales, muy en particular a través de los sentidos de la vista y el tacto.

Distingue entre percepción, que define como el “conocimiento de objetos resultante del contacto directo con ellos”, y representación (o imagen mental), que “comporta la evocación de objetos en ausencia de ellos”.

En cada uno de estos estadios de desarrollo, Piaget distingue, además, una progresiva diferenciación de propiedades geométricas.

* Propiedades topológicas.

* Propiedades proyectivas.

* Propiedades euclideas.

2.2. El modelo de los niveles de van Hiele

En este modelo se proponen cinco niveles jerárquicos para describir la comprensión y el dominio de las nociones y habilidades espaciales.

* Nivel 0: Visualización

* Nivel 1: Análisis

* Nivel 2: Deducción informal

* Nivel 3: Deducción

* Nivel 4: Rigor

3. Situaciones y recursos didácticos

3.1. Juegos de psicomotricidad

Las situaciones de juegos de psicomotricidad parecen muy recomendables para iniciar el estudio de distintos aspectos de la geometría. En el libro de A. Martínez y F. Juan (1989) encontramos abundantes ejemplos de este tipo de situaciones, así como los fundamentos metodológicos en los que basan su propuesta curricular.

3.2. Descripción y clasificación de objetos

Uno de los primeros tipos de actividades más importantes que se pueden proponer a los niños es ofrecerles la oportunidad de encontrar semejanzas y diferencias entre una gran variedad de formas. Muchos niños se centrarán en características no estándares como “puntiagudo” o “curvado”, o “se parece a una casa”. Otros observarán cosas que realmente no son parte de las formas: “señala hacia arriba”, o “está cerca del borde la mesa”.

3.3. Construcción y exploración de polígonos

Interesa que los propios niños construyan y dibujen formas. En una primera fase harán formas de manera libre para pasar después a construir otras que cumplan algunas condiciones. Esto promoverá la reflexión sobre las propiedades implicadas y estimulará el paso al nivel 1 de razonamiento sin necesidad de presionar a los niños de manera forzada. Los materiales para realizar estas construcciones pueden ser variados, bien del entorno escolar o bien comerciales (plastilina, cartulina, bloques encajables, trangram, geoplanos, etc.)

3.4. Construcción y exploración de sólidos

La construcción de formas tridimensionales presenta un poco de más dificultad que las formas bidimensionales pero posiblemente sea una actividad más importante. Construir un modelo de una forma tridimensional es una manera informal de lograr la comprensión de la forma de una manera intuitiva en términos de sus partes componentes.

3.5. Geometría dinámica (Logo y Cabrí)

Si se dispone en la escuela de un aula con ordenadores es posible utilizar programas comerciales disponibles para el estudio de la geometría. Entre estos programas podemos citar el Cabri y el módulo de la “geometría de la tortuga” del lenguaje de programación Logo

(Godino y Batanero, 1985).

4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluación

Incluimos en esta sección una colección de items usados en diversas investigaciones para evaluar los conocimientos geométricos de los niños, indicando algunas de las respuestas erróneas encontradas, o los índices de dificultades.

5. Taller de didáctica: análisis de situaciones escolares

- Respuestas de estudiantes a pruebas de evaluación

Imagina que has faltado a la última clase de matemáticas. Tu compañera Carolina te describe por teléfono una figura geométrica: "Traza con lápiz un círculo de 4 cm de radio. Dibuja con lápiz 2 diámetros perpendiculares. Los extremos de estos diámetros son 4 puntos del círculo. Traza con tinta los segmentos que unen los puntos y que no pasan por el centro del círculo".

- Análisis de materiales didácticos.

La cuadrícula como instrumento geométrico

1. El papel cuadriculado se considera como un "instrumento" en geometría. ¿Por qué?

¿Cuáles son los restantes instrumentos en el estudio de la geometría?

2. ¿En qué se diferencia la geometría sobre 'papel blanco' respecto de la geometría en papel cuadriculado?

- Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas.

Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 2º y 3er ciclo de primaria (recomendamos buscar los libros que utilizastes personalmente, o bien los de algún familiar o amigo).

- Estudia el desarrollo del tema de “Figuras geométricas” en dichos niveles.

- Indica en qué curso se inicia y cuando termina.

- Busca algún tipo de problema o tarea que consideres no está representado en la muestra de problemas que hemos seleccionado como actividad introductoria del estudio de este tema.

- Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres potencialmente conflictivos.

- Describe los cambios que introducirías en el diseño las lecciones propuestas para los cursos de primaria.

CAPÍTULO 2:

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. SIMETRÍA Y SEMEJANZA:

Conocimientos didácticos:

1. Orientaciones curriculares

2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje

Al parecer, su principal valor reside, para la mayoría de los niños, en el estudio de ciertas transformaciones por el valor intrínseco de éstas, no tanto porque contribuyan a proporcionar una imagen unificada de las matemáticas. El estudio de las transformaciones se puede basar en acciones fáciles de realizar (por medio de plegados y giros), por lo que pueden servir para generar descubrimientos relativos a las transformaciones y para comprobar las predicciones e inferencias de los niños. También contribuye a resaltar aspectos más tradicionales de la geometría, como la congruencia y la semejanza. Transformaciones geométricas 

La comprensión por los niños de distintas edades de las traslaciones, giros y simetrías ha sido evaluada en distintas investigaciones.

3. Situaciones y recursos didácticos

3.1. Juegos de psicomotricidad

Las situaciones de juego de psicomotricidad parecen muy recomendables para iniciar el estudio de distintos aspectos de la geometría, y de manera especial en el caso de los movimientos. En el libro de A. Martínez y F. Juan (1989) encontramos abundantes ejemplos de este tipo de situaciones, así como los fundamentos metodológicos en los que basan su propuesta curricular.

3.2. Simetría axial

Es importante que los niños vean la simetría en los objetos que les rodean; es conveniente poner en el tablón de clase dibujos o fotografías de objetos que tengan simetrías, y que los niños dibujen o construyan formas simétricas. Una manera sencilla de hacerlo puede ser doblando una hoja de papel y haciendo diversos recortes de losbordes: al desdoblar la hoja se obtendrán figuras con eje de simetría por el doblez inicial.

3.3. Simetría rotacional

Una de las introducciones más sencillas de la simetría rotacional es usando las huellas de figuras trazadas como se ha hecho en la actividad anterior. Si una figura se ajusta a su huella de más de una manera sin que se levante del plano (sin voltearla) tiene simetría rotacional. El número de maneras diferentes en que una figura se puede hacer coincidir consigo misma es el orden de la simetría rotacional.

3.4. Simetría de figuras tridimensionales

Actividad 7: Simetría plana en construcciones de cuerpos

 Usando cubos encajables hacer construcciones que tengan un plano de simetría. Si el plano de simetría pasa entre los cubos, separar el cuerpo en las dos partes simétricas.

Tratar de hacer construcciones con dos o más planos de simetría.

3.5. Figuras semejantes

Una primera definición de figuras semejantes que se puede dar a los alumnos es que son figuras que “tienen el mismo aspecto” pero tamaños diferentes. Para ayudarles a comprender este concepto se pueden dibujar tres rectángulos en la pizarra. Hacer que dos sean semejantes, por ejemplo, con lados de razón 1 a 2. El tercer rectángulo deberá ser muy diferente, con lados en razón de 1 a 10, por ejemplo. ¿Qué rectángulos se parecen más? Al principio la noción de semejanza se desarrollará de manera intuitiva; después se podrá dar una definición más precisa: Dos figuras son semejantes si todos los ángulos son congruentes y las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.

4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluación

Se han realizado diversas investigaciones para estudiar la comprensión por los niños de diferentes edades de las propiedades de las figuras que son invariantes ante las transformaciones geometrías (traslaciones, giros y simetrías) y la construcción de las figuras transformadas.

5. Taller de didáctica

·         Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas

·         Análisis y construcción de situaciones introductorias

CAPITULO 3:

ORIENTACIÓN ESPACIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

Conocimientos didácticos:

1. Orientaciones curriculares

2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje

2.1. El desarrollo de sistemas de referencia

La esencia de un sistema de referencia es la relación de las partes móviles con algún aspecto invariable y estacionario del espacio; por ejemplo, una superficie horizontal, los ejes de una gráfica, la noción de dirección norte. Tales son los puntos de referencia que proporcional el armazón sobre el cual estudiar el movimiento de, pongamos por caso, bloques de construcción, un triángulo o un barco.

Según Piaget e Inhelder, el desarrollo de sistemas de referencia se funda en la capacidad natural de utilizar el que ellos describen como marco de referencia natural, a saber, el correspondiente a la horizontal y la vertical.

2.2. La variable tamaño del espacio

Una de las variables que se debe tener en cuenta en el proceso de adquisición del dominio de las relaciones con el espacio es la dimensión física del ámbito con el que el sujeto entra en relación. Las investigaciones psicológicas muestran que el niño va estructurando sectores más amplios del espacio a medida que incrementa la magnitud de sus propios desplazamientos. Brousseau distingue tres valores de la variable “tamaño del espacio” con el que interactúa el sujeto. Estos valores implican modos diferentes de J. D. Godino y F. Ruiz relaciones con los objetos incluidos en ese sector del espacio y, en consecuencia modelos conceptuales diferentes para orientar la acción del sujeto. Esta variable interesa segmentarla en tres valores: microespacio, mesoespacio y macroespacio, cuyas características describimos a continuación.

3. Situaciones y recursos

·         Búsqueda de un objeto escondido en clase

·         Búsqueda de un objeto escondido dentro del espacio escolar

·         Localización de objetos en el microespacio

·         Localización relativa de lugares conocidos en la ciudad

·         Construcción de una brújula y de un plano de la escuela

4. Taller de didáctica

·         Análisis de experiencias de enseñanza

JUICIO CRÍTICO:

Teniendo en cuenta la formación que actualmente debe tener un maestro por el desarrollo tan avanzado de la sociedad y el desempeño que se le observa, me parece propicia la difusión de este tipo de documentos puesto que es un documento completo ya que está dividido en tres capítulos dentro de los cuales se toma en cuenta la contextualización profesional, los conocimientos matemáticos y sobretodo los conocimientos didácticos, que para mí es el más interesante porque nos explican cómo enseñarle al alumno la geometría, cómo va desarrollando el concepto de geometría  y distintas nociones como el espacio por ejemplo.

CONCLUSIONES:

-          Una línea recta es una línea que no tiene principio ni fin.

-          Una semirrecta es una línea que tiene principio pero no tiene final.

-          Paralelas, si dos rectas no se cortan en ningún punto.

-          La abertura o amplitud de los ángulos se mide con el transportador de ángulos. La medida se expresa en grados ( º ).

-          Una figura tiene simetría, cuando al doblarla por un eje de simetría sus dos mitades coinciden.

-          Una figura puede tener varios ejes.

-          Trasladar una figura es desplazarla en una dirección conservando su forma y tamaño.

REFERENCIAS:

-          Geometría y su didáctica para maestros, Juan D Godino, (2002)

ANEXOS:

-          http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/verContenido.aspx?ID=210106