I. RESUMEN:
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:
1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.
La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorías.
Por ejemplo, con la Teoría de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función, partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, etc.
II. UNIVERSO VOCABULAR:
CONJUNTO: es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. CARDINALIDAD: indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. VACÍO: es aquel que no posee elementos. UNIVERSAL: es aquel que contiene todos los elementos bajo consideración. EQUIVALENTES: tener la misma cantidad de elementos.III. ORGANIZACIÓN DE IDEAS:
Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos de S presenta que el elemento “a” pertenecer o está contenido en el conjunto S. o lo que es el mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o a e S o a S. Esto es a no pertenece a S.
Un conjunto se representa frecuentemente con el símbolo S = | | , en donde las llaves engloban los elementos de S, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, a dando una formula , regla o proposición que los describa.
IV. FUNDAMENTACIÓN:
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1. POR EXTENSIÓN O ENUMERACIÓN: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.
2. POR COMPRENSIÓN: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:
A = { x P(x) }= {x1, x2, x3, ⋅⋅⋅ xn}
que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como:
x1, x2, x3,…,etc.
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3. DIAGRAMAS DE VENN: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.
.
4. POR DESCRIPCIÓN VERBAL: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.
Ejemplo:
Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.
Solución:
Por extensión: V = {u, o, i, e, a}
Por comprensión: V = {x/x es una vocal}
Por diagrama de Venn:
CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS
a. UN CONJUNTO VACÍO O NULO: es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por { }. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.
Ejemplos:
φ = {x/x son los dinosaurios que viven en la actualidad}
{ }= {x/x son los hombres mayores de 300 años}
φ = {x/x son números positivos menores que cero}
b. UN CONJUNTO UNIVERSAL: es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.
Ejemplos:
U = {x/x son los días de la semana} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
A = {x/x son los días de la semana inglesa} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}
B = {x/x son los días del fin de semana} = {sábado, domingo}
C = {x/x son los días de la semana con menos de siete letras} = {lunes, martes, jueves, sábado}
Nótese cómo: A ⊂ U, B ⊂ U, C ⊂ U
c. UN CONJUNTO FINITO: es aquel cuyos elementos pueden ser contados.
Ejemplos:
J = {x/x es el número de un día del mes de junio}
K = {x/x = 4}
L = {x/x es la cantidad de autos en la ciudad de México}
d. UN CONJUNTO INFINITO: es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida.
Ejemplos:
N = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…}
M = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}
Q = {x/x es la cantidad de puntos en una línea}
e. DOS CONJUNTOS SON IGUALES: si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo =.
Ejemplo:
R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}
S = {x/x es un dígito}
R = S
f. DOS CONJUNTOS SON DESIGUALES: si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠.
f.
Ejemplo:
D = {x/x = 9}
E = {− 2, 2}
D ≠ E
g. DOS CONJUNTOS SON EQUIVALENTES: si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad. Se denota por el símbolo ≈.
Ejemplos:
W = {x/x son las estaciones del año}
Z = {x/x es un punto cardinal}
η(W ) = 4
η(Z) = 4
W ≈ Z
h. CUANDO LOS CONJUNTOS SON EQUIVALENTES: existe una correspondencia uno a uno o biunívoca. Esto significa que se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto sin que sobren elementos en ningún conjunto.
h.
V. JUICIO CRÍTICO:
Los conjuntos son las bases fundamentales de las matemáticas. Es verdad que los conjuntos, por sí solos, no parecen nada del otro mundo. Pero cuando los aplicas en distintas situaciones es cuando se convierten en los bloques con los que las matemáticas se construyen.
Por eso diría que las matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente. Teoría de gráficos, álgebra abstracta, análisis real, análisis complejo, álgebra lineal, teoría de números, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que todas estas partes de las matemáticas tienen en común: LOS CONJUNTOS.
VI. CONCLUSIONES:
ü Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto.
ü Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto.
ü Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto.
ü En la Teoría de Conjuntos, se tiene como referencia, explícita o implícitamente, un universo local; es decir, un marco de referencia dentro del cual se trabaja.
VII. REFERENCIAS:
v Baker, A. Breve Introducción a la Teoría de Números, Alianza Universidad, Madrid, 1986.
v Mosterín, J. Lógica de Primer Orden, Ariel, Barcelona, 1970 - Teoría Axiomática de Conjuntos, Ariel, Barcelona, 197.
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