TEORÍA DE CONJUNTOS / MARÍA LUISA LLONTOP TORRES

I.                    RESUMEN

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: Por extensión o enumeración, Por comprensión, Diagramas de Venn y Por descripción verbal.

Cuando hablamos de conjuntos existen algunos con nombres específicos por ejemplo. Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos, un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados. Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados.

En lo referente a operaciones con conjuntos es la unión, la intersección, el complemento y la diferencia.

II.                  UNIVERSO VOCABULAR

·         Conjunto: Agrupación de entes o elementos, que poseen una o varias características en común.

·         Universo o conjunto universal: El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

·        Unión: La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos.

·        Conjunto vacio: Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ.

·         Diagramas de Venn: Son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos.

Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. 

I.                    RESUMEN

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: Por extensión o enumeración, Por comprensión, Diagramas de Venn y Por descripción verbal.

Cuando hablamos de conjuntos existen algunos con nombres específicos por ejemplo. Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos, un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados. Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados.

En lo referente a operaciones con conjuntos es la unión, la intersección, el complemento y la diferencia.

II.                  UNIVERSO VOCABULAR

·         Conjunto: Agrupación de entes o elementos, que poseen una o varias características en común.

·         Universo o conjunto universal: El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

·        Unión: La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos.

·        Conjunto vacio: Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ.

·         Diagramas de Venn: Son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos.

Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. 

I.                    FUNDAMENTACIÓN

LEYES DE D’MORGAN

Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:

Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.

(A ∪ B)' = A'∩B'

En el diagrama de la izquierda, A∪ B viene dada por la región en blanco y (A ∪ B)' está representado por el área sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la derecha, A' es la región sombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que A'∩B' está representado por la superficie cuadriculada. Las regiones resultantes son iguales.

Segunda ley. El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos:

(A ∩ B)' = A'∪B'

PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Y SU GRÁFICA

Uno de los principios básicos para hacer un análisis matemático es el concepto de parejas ordenadas: dos objetos, personas, símbolos o cosas mencionados en un orden definido por su posición, es decir, primero uno y luego el otro. Si este orden cambiara, es decir, primero el otro y luego el uno, se tendrá como resultado una nueva pareja ordenada y diferente a la inicialmente considerada.

La simbología matemática que se utiliza para representar una pareja ordenada es escribir dentro de un paréntesis, la primera componente separada por una coma de la segunda componente, por ejemplo:

(x, y) es la pareja ordenada, en donde x es la primera componente y y es la segunda componente.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares ordenados que se forman eligiendo como primera componente a un elemento que pertenezca a A , y como segunda componente a un elemento que pertenezca a B .

El producto cartesiano se denota de la siguiente forma: A´ B y se lee “A cruz B”.

A´ B = { (x, y) xÎ A y yÎB }

La definición anterior expresa que el producto cartesiano de los conjuntos A y B, son la parejas ordenadas (x, y) tal que x pertenece al conjunto A y y pertenece al conjunto B.

II.                  JUICIO CRÍTICO

Para comenzar a construir estructuras algebraicas tenemos que partir de una base, y esa base son los conjuntos.

El docente debe conocer los principios en los que se basa la teoría para enseñar de manera apropiada el tema a los niños que recién se inician en el estudio del algebra.

III.                CONCLUSIONES

·         Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.

·         Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos

·         El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

·         Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

IV.                REFERENCIAS

·         TEÓRIA DE CONJUNTOS. http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/01.%20Teoria%20de%20Conjuntos.pdf [CONSULTA: 10DE OCTUBRE DEL 2013]