PSICOLOGÍA EDUCACIONAL DE LAS MATEMÁTICAS.

I.              RESUMEN:

Se ha realizado una somera revisión bibliográfica actual para identificar el estado del conocimiento psicopedagógico de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Hemos encontrado tres temáticas definidas: la primera sobre el desarrollo cognitivo de los conceptos matemáticos, la segunda sobre los procedimientos de cálculo y solución de problemas de los estudiantes y la tercera sobre las estrategias psicodidácticas de aplicación escolar. En lo que respecta al primer rubro hemos revisado dos áreas, la del desarrollo temprano (cero a 4-5 años) y la del desarrollo operatorio (posterior). Hemos considerado los nuevos hallazgos en lo que hace al número en el niño preverbal y mantenido los aportes piagetanos a partir de las etapas preconservantes. En lo que respecta al segundo tema hemos revisado los errores y precisión del cálculo, las habilidades del cálculo eficaz. y el papel de la memoria; además, aspectos de la solución de problemas como la organización del conocimiento del procesamiento cognitivo y la actividad resolutoria. En el tercer tema, que dividimos en psicodidácticas numéricas y conjuntistas, hemos revisado por un lado los aportes de Thordnike, Gagné y Resnick y por el otro los de la Gestalt, Bruner y Dienes. El saldo final es el de un positivo avance en conocimientos y procedimientos sobre psicopedagogía de las matemáticas.

II.            UNIVERSO VOCABULAR:

Ø  Subitización: Se define como el reconocimiento inmediato sin conteo explícito de un conjunto pequeño de objetos.

Ø  Las estimaciones: Son aproximaciones tentativas a los resultados. Su función es el actuar conjuntamente con el cálculo y al llegar con ambos procedimientos a resultados similares, servir de comprobación del cálculo hecho.

Ø  Los numerales: Se definen como los términos del lenguaje oral que rotulan a los números en cuanto cantidades. Los numerales se aprenden por reglas diferentes al etiquetado de objetos o denominación.

Ø  La notación numérica es logográfica a diferencia de la escritura que es fonográfica, mientras el dibujo es pictográfico.

Ø  Se define como metamatemática a las ideas peculiares del niño sobre el número.

Ø  El cálculo es el conjunto de algoritmos y procedimientos computacionales mediante los que se manipulan los números y sus símbolos.

1. Ø  Las estimaciones son aproximaciones tentativas a los resultados. Su función es el actuar conjuntamente con el cálculo y al llegar con ambos procedimientos a resultados similares, servir de comprobación del cálculo hecho.

I.              ORGANIZACIÓN DE IDEAS:

I.              FUNDAMENTACIÓN:

 DESARROLLO TEMPRANO

v  Gelman ha propuesto cinco principios del aprendizaje del conteo que funcionan como reglas de predisposición innatas.

I. Principios de correspondencia biunívoca: un elemento de una colección con uno de la otra.

II. Principio de ordenación estable: el recuento es independiente de los rótulos que se unen, como por ejemplo cuando se aplica 1, 2, 4, pero no se repite ningún rótulo.

III. Principio de indiferencia de elementos: puede contarse cualquier clase de objetos.

IV. Principio de indiferencia de orden: el conteo es en cualquier secuencia.

II.   Principio de cardinalidad simple: el último término del recuento da el valor cardinal del conjunto.

v  Desde el punto de vista operacional, el conteo tiene las siguientes propiedades:

a)    Demora en los adultos 1/3 de segundo por objeto, en los niños demora 2/3 de segundo también por cada objeto.

b) Los matemáticos hábiles empiezan a usar desde los cuatro años para contar conjuntos grandes, el agrupamiento en subconjuntos. Se cuenta cada subconjunto y se acumulan al final. Las pistas como marcas, colores y distancias, favorecen los agrupamientos. Si las pistas están distribuidas al azar no se producen los agrupamientos.

c) El conteo de objetos es más difícil cuando estos están fijos y dispersos; lo es menos cuando están fijos alineados; y aún menos difícil cuando son móviles y pueden agruparse una vez contados.

d) El principio de cardinalidad parece actuar según Wynn sólo a partir de los tres años, los niños menores aun cuando puedan contar bien hasta cinco, cuando se les pregunta por cuánto hay, no dan la última cifra como respuesta.

v  La detección temprana de la numerosidad y el conteo son el inicio de un proceso cuyo primer desarrollo deberá culminar en la adquisición y uso de los sistemas simbólicos (lenguaje) y conceptuales (teorías) pertinentes que le servirán de base a la expansión futura de sus competencias matemáticas.

v  Los numerales se aprenden por reglas diferentes al etiquetado de objetos o denominación. La base de este aprendizaje son los principios de irrelevancia del objeto y de ordenación estable, que no son aplicables para nombrar objetos. Ambos dominios no se confunden ante la masa de estimulación, debido según Gelman a la influencia de los principios innatos de dominio específico.

v  Basados en Hugues proponemos un desarrollo de la notación en tres etapas: Primera etapa: garabato, no se identifica ninguna asociación entre el elemento gráfico y el elemento numérico. Segunda etapa: biunívoca, en este período correlacionan el número de unidades gráficas con el número de objetos.

v  Hay dos teorías principales de carácter secuencial La primera teoría investigada por Gelman asume los números como lo que se obtiene al contar, el número se piensa como una propiedad de las cosas contables. En esta teoría ni el cero ni las fracciones son números.

v  Para la segunda teoría el número es algo con lo que se realizan y a los que se aplican operaciones matemáticas. En esta concepción cambia la naturaleza del cero y de las fracciones.

v  Wellamn y Miller investigaron las ideas sobre el cero y señalaron tres estadios de progreso: el primero es de familiarización y notación del cero independientemente de su comprensión; en el segundo estadio comprende que el cero hace referencia a ninguno o nada; en el tercer estadio comprende que es el número más pequeño de la serie de enteros no negativos.

v  Karminoff-Smith investigó el desarrollo de las ideas del niño sobre las fracciones: primero el niño identifica a las fracciones con el papel que los enteros cumplen en las operaciones (sumará 1/2+ 1/4= 1/6). En una segunda etapa comprende que los dos números implican la división entre números distintos.

DESARROLLO OPERATORIO

v  Piaget definió las operaciones como acciones simbólicas, interiorizadas y reversibles. El desarrollo de las operaciones significa: diferenciación simbólica entre significantes y significados; b) restricciones lógicas al operar conscientemente con los símbolos y c) desarrollo del pensamiento verbal.

v  Los niveles piagetanos de operaciones intelectuales son:

-Etapa preoperatoria (2-7 años): existe la diferenciación significante significado, pero sin restricciones lógicas.

v  -Etapa lógico-concreta (7-12 años): operaciones en el plano de las representaciones, estructura el presente en función del pasado sin las deformaciones, dislocaciones ni contradicciones del niño preoperatorio.

-Etapa lógico-formal (12-16 años): operaciones sobre lo posible configurando lo real como uno de sus casos. Frente a un problema se preveen todas las relaciones de posible validez y luego se determina por experimentación y análisis lógico cuáles de las relaciones posibles tien validez real. Es un pensamiento hipotético-deductivo, proposicional y probabilístico.

v  Según Piaget las principales características de las operaciones son:

• Transformaciones de los símbolos en forma interiorizada y reversible configurando estructuras y sistemas de procesamiento (razonamiento).

• Aprehensión simultánea simbólica e interna de una síntesis única de una serie completa de hechos separados.

• Reflexión sobre la organización de los propios actos: carácter contemplativo, no sólo activo.

• Independización más allá de los actos presentes y de los objetos concretos del entorno real: transición a manipular simbólicamente entidades no tangibles.

v  El problema de la conservación y teorías explicativas:

a) Teoría de Piaget: los niños no tienen un conjunto de principios  numéricos explicativos.

b) Teoría de Gelman: falta la representación abstracta (algebraica) de razonar sobre relaciones numéricas sin representación concreta.

c) Teoría de Karmiloff-Smith: se debe a un proceso de redescripción que pasa de la conservación embutida en el recuento a hacerla explícita en la actividad de contar, es decir extraerla para utilizarse con cantidades sin especificar.

PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO

v  Precisión, Procedimientos incorrectos, Falta de habilidades previas, Cálculo eficaz y Papel de la memoria.

v  Los errores en el cálculo pueden ser de dos tipos: a) en la tarea meta se aplican procedimientos incorrectos y b) en las subdestrezas prerrequisitos hay falta de habilidades pertinentes. Los errores se evalúan de la siguiente manera: Los errores que sólo se dan en la tarea-meta se deben a procedimientos incorrectos y  los errores que se dan conjuntamente en habilidades previas y tarea-meta son falta de conocimientos prerrequisitos.

v  Las estrategias de estimación son tres:

a) Reformulación, redondear números para hacerlos manejables.

b) Traducción, modificar la estructura del planteo por otra, ej.: 492+504+487= 500x3.

c) Compensación, ajustes en una dirección que se equilibran con ajustes en otra.

v  Papel de la memoria: Siegel y Ryan compararon niños con problemas de lectura, con trastornos de atención y con dificultades específicas de matemáticas. Todos tenían dos tareas, una verbal y otra numérica. La primera era decir las palabras que faltaban en frases. La segunda era identificar puntos amarillos, en tarjetas distribuidas al azar, entre puntos azules. Luego de cada tarea debían decir las palabras y los números respectivamente y en el mismo orden. Los niños con dificultades específicas tenían puntuaciones bajas sólo en la tarea numérica y no en la verbal.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

v  Según Loftus y Suppes las variables de dificultad de un problema son las siguientes:

a) Número de operaciones necesarias.

b) Relación de los procedimientos del problema con el anterior.

c) Longitud léxica del enunciado

d) Complejidad gradual del enunciado.

e) Conversión de unidades de medida.

v  Organización del conocimiento, Procesamiento cognitivo y Solución de problemas.

v  La organización del conocimiento específico influye en la solución de problemas de un campo dado porque guía la búsqueda de solución. Una solución rápida y precisa depende de la organización del conocimiento (DDC). Esta es como un mapa cognitivo de un área determinada.

v  El procesamiento cognitivo implica a qué se le presta atención y qué se recuerda. Atender y recordar son dos aspectos claves del procesamiento cognitivo.

v  Siguiendo a Resnick estudiaremos cuatro secuencias básicas: representación del problema, datos del problema, instrucciones del problema y soluciones del problema.

PSICODIDÁCTICA NUMÉRICA

v  La psicodidáctica numérica o algorítmica se orienta a la matemática tradicional y a sus componentes de cálculo, problemas y aplicaciones. Se divide generalmente en cursos de Aritmética, Algebra, Geometría y Cálculo.

v  Pueden distinguirse en esta psicodidáctica tres estrategias de enseñanza-aprendizaje: ejercicios de Thorndike, acumulaciones de Gagné y rutinas de Resnick.

v  Se fundamenta en la ley del efecto descubierta por Thorndike en sus investigaciones sobre aprendizaje por ensayo y error, consistente en conexiones entre situación y respuesta. Si la conexión se acompaña de un estado satisfactorio aumenta su fuerza, si el estado es poco o nada satisfactorio entonces disminuye.

v  En el aprendizaje acumulativo de Gagné las tareas sencillas funcionan como componentes de las más complejas, permitiendo al aprender las sencillas transferir el aprendizaje a lo complejo.

v  Las rutinas de Resnick, están centradas en los pasos mentales necesarios a dar para resolver una tarea: son las exigencias a la memoria y a las habilidades. La secuencia de pasos mentales es una rutina.

PSICODIDÁCTICA CONJUNTISTA

v  Son tres las psicodidácticas que se han orientado preferentemente a la matemática moderna: la comprensión de Gestalt, el descubrimiento de Bruner y el constructivismo de Dienes.

v  Los conceptos fundamentales de la Gestalt con relevancia para las matemáticas son los de forma, insight y pensamiento productivo.

a) Forma (Wertheimer): el perceptor aporta a la percepción la configuración, que es más que la simple suma de elementos bajo las reglas de la pregnancia o buena forma.

b) Insight (Kohler): intelección súbita de una situación problema que reorganiza la situación en forma repentina y espontánea. Procede de la reestructuración de los elementos del problema que se ven en un nuevo contexto. Son famosos los experimentos realizados por Kohler con chimpancés.

c) Pensamiento productivo (Duncker): elaboración nueva, no reproductiva ante un problema. La solución productiva no es tan sólo un paso a partir del planteamiento del problema. Inicialmente surge el principio o valor funcional de la solución. Este principio se logra concretizar más y más. Las propiedades generales o esenciales de una solución son anteriores a las específicas: éstas se derivan de aquellas.

III.           JUICIO CRÍTICO:

La psicología educacional matemática es una aproximación a la investigación psicológica que se basa en modelos educacionales matemáticos de los procesos perceptuales, cognitivos y motrices. También implica el establecimiento de reglas que relacionan las características cuantificables de un estímulo con el comportamiento cuantificable. Es por eso que diversos autores como Piaget estudian con minuciosidad el proceso de una concepción matemática en los niños.

IV.          CONCLUSIONES:

v  Uno de los problemas centrales de la educación para el desarrollo y la modernización es el que presenta la enseñanza de las matemáticas en la escuela.

v  Los profesores deberán elaborar el currículo pertinente para la escolaridad, y definirse en él objetivos, contenidos, metodologías, secuencias, medios y evaluación pedagógica.

v  Se tiene que definir la formación del docente, elaborar y aplicar currículos y averiguar el impacto o efecto de estas experiencias sobre la población afectada. Se requiere para responder eficazmente a estas tareas tener una idea clara del estado actual de la pedagogía de la matemática.

v  En  los avances que recientemente han estado haciéndose en la Psicología Cognitiva aplicada a la educación matemática, es que en ella se han afrontado tres problemas centrales: el del desarrollo, el de los mecanismos cognitivos involucrados en el procesamiento matemático y el de la enseñanza-- aprendizaje.

v  El problema del desarrollo no es otro que el problema de la evolución ontogenética del pensamiento matemático.

v  El desarrollo temprano está centrada en los avances más recientes hechos sobre los procesos de pensamiento matemático del niño pequeño.

v  El desarrollo operatorio, pone gran énfasis en la concepción de Piaget sobre el desarrollo de las matemáticas en el niño y el adolescente.

v  El problema de los mecanismos implicados en la cognición está bajo dos rubros: procedimientos de cálculo y de resolución de problemas, que visualizan la dicotomía entre los procedimientos algorítmicos y procedimientos heurísticos.

v  En los procedimientos de cálculo  existen reglas de cómputo que llevan a un resultado final.

v  La resolución de problemas tienen vías más difusas que deberán identificarse y, que no siempre llevan a una solución final, sino que a veces sólo a aproximaciones.

v  El tercer problema, el de la enseñanza-aprendizaje, también cubrirá dos aspectos generados por dos enfoques distintos a las preguntas complementarias sobre cómo aprende matemáticas el niño y cómo debe enseñársele.

v  El sobre cómo aprende matemáticas el niño, se orienta hacia estrategias algorítmicas y numéricas que privilegian el dominio del cálculo.

v  El cómo debe enseñársele al niño matemáticas, se orienta hacia las estructuras matemáticas, los conjuntos, los dispositivos lógicos y algebraicos subyacentes a todas las competencias del área. Es una orientación vinculada a los desarrollos de la matemática moderna.

V.           REFERENCIAS:

·         Baroody, A. (1994). El pensamiento matemático de los niños. Madrid: Visor. Brissiaud, E. (1993). El aprendizaje del cálculo. Madrid: Visor.

·         Deaño, D. (1993). Conocimiento lógico-matemático en la escuela infantiL. Madrid: CEPE.

·         Dicnes, Z. (1970). La construcción de las matemáticas. Barcelona: Vicens- Vives.

·         Dienes, Z. (1971). El aprendizaje de la matemática. Buenos Aires: Estrada.

·         Diencs, Z. (1971). La potencia de la matemática. Buenos Aires: Estrada.

·         Dienes, Z. (1975). Enseñanza y aprendizaje de la matemática. Buenos Aires: Paidós.

·         Gagné, E. (1991). La psicología cognitivo del aprendizaje escolar. Madrid: Visor.