La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para
clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los
seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el
conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio de
venta al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera. En todos
estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos.
I.
Universo
Vocabular
Agrupar: v. tr.
1 Unir elementos para formar un grupo, generalmente siguiendo un
criterio determinado.
2 Reunir a un conjunto de personas con intereses comunes para
cierto fin.
Diagrama: s. m.
Representación gráfica de las variaciones de un fenómeno, de
una serie de datos o de las relaciones que tienen los elementos de un conjunto: en el folleto del coche había dibujado un diagrama de su
motor.
Disyuntivo
1 Que tiene capacidad de desunir o
separar. aglutinante.
— adj./s. f.
2 Se
aplica a la proposición que expresa una acción, proceso o estado que excluye la
acción, el proceso o el estado expresado por otra u otras proposiciones: ''salta o corre´´ y ''entra o sal´´ son proposiciones
disyuntivas.
3 Se
aplica a la conjunción que denota diferencia, alternancia o separación e
introduce una proposición disyuntiva: ''bien´´, ''u´´ y ''o´´ son
conjunciones disyuntivas.
Equivalente
1 Se aplica a la cosa, persona que mantiene una relación de
equivalencia con otra cosa o persona: la distancia en milímetros que separa
dos ciudades en un mapa de carreteras debe ser equivalente a la que hay
verdaderamente entre ellas.
— adj.
2 Se aplica a la figura que tiene igual área o volumen que otra,
pero forma diferente: un cuadrado y un rombo pueden ser equivalentes.
— s. m
Finito
1 Que tiene fin o límite en el espacio o en el tiempo: las hojas caducas
tienen una vida finita. infinito.
2 En matemáticas, se aplica al conjunto que tiene un número de
elementos que se pueden contar.
II.
Conclusiones
-
La idea
de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones”
o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos.
-
La
teoría de conjuntos, tal cual la mayoría de las ciencias, son para entender el
mundo de otra perspectiva.
-
La teoría de conjuntos, cuando la comprendemos
(no cuando la memorizamos) nos ayuda a colocarnos en un plano distinto para ver
las cosas desde otro punto de vista, mejorando el poder analítico y los
estudios que emanan de la teoría de conjuntos, quedan en el subconciente y ayudará a resolver problemas abstractos en un
futuro.
-
Las propiedades
de la teoría de conjunto servirán para fundamentar cualquier teoría Matemática,
tales como Funciones, Geometría,
Estadística y todas las que se nos puedan presentar.
-
La
teoría de conjunto eso si, debe entenderse como una herramienta mental, no como
una forma de pensar.
-
El universo es algo que se forma de infinitos,
y nos es posible hacer conjuntos.
III.
Fundamentación:
Un conjunto es un grupo de
elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza
si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los
conjuntos, se usan letras mayúsculas.
Existen
cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1) Por extensión o
enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas.
Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre
llaves.
2) Por comprensión: los
elementos se determinan a través de una condición que se establece entre
llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que".
3) Diagramas de Venn: son
regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las
relaciones entre conjuntos.
4) Por descripción verbal:
Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.
Conjunto
con nombres específicos:
-
Un conjunto vacío o nulo es aquel que no
posee elementos. Se denota por: φ o bien por { }. El conjunto vacío siempre
forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.
-
Un conjunto universal es aquel que contiene a
todos los elementos bajo consideración. Se denota por U . Gráficamente se le
representará mediante un rectángulo.
-
Un conjunto finito es aquel cuyos elementos
pueden ser contados.
-
Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos
no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida.
-
Dos conjuntos son iguales si tienen
exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo = .
-
Dos conjuntos son desiguales si por lo menos
difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos
elementos. Se denota por el símbolo ≠ .
-
Dos conjuntos son equivalentes si tienen la
misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad. Se
denota por el símbolo ≈ .
-
Operaciones
con conjuntos:
-
La unión de los conjuntos A y B es el
conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir
ninguno y se denota como A∪ B .
-
La intersección de los conjuntos A y B es el
conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B
.
-
El complemento del conjunto A con respecto al
conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en
A y se denota como 'A .
-
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese
orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y
se denota como A− B .
Propiedades
de los conjuntos:
-
Propiedades de identidad.
-
Propiedades de idempotencia.
-
Propiedades de complemento.
-
Propiedades asociativas.
-
Propiedades conmutativas.
-
Propiedades distributivas.
Producto
cartesiano y gráfica:
El producto cartesiano de
dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares ordenados que se
forman eligiendo como primera componente a un elemento que pertenezca a A , y
como segunda componente a un elemento que pertenezca a B .
El producto cartesiano se denota de la
siguiente forma: A× B y se lee “ A cruz B ”.
A× B = { ( y,x ) x∈ A y y ∈ B }
IV.
Juicio
crítico:
La teoría de conjuntos es
una teoría matemática entre otras teorías matemáticas, con un objeto de estudio
propio y con métodos propios, con relaciones más o menos profundas con otras
teorías matemáticas.
La teoría de conjuntos es
crucial para las matemáticas pues casi todos los objetos que estudia son
conjuntos o elementos de ellos.
La importancia de la Teoría
de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la
matemática, salvo la Teoría de Categorías.
Por ejemplo, con la Teoría
de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus
propiedades: par ordenado, relación, función, partición, orden, estructuras
algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, y los
complejos, entre otros.
La noción de conjunto es una
de las más importantes ideas básicas para la formulación moderna de las
matemáticas, ya que muchas estructuras se basan en conjuntos y/o en
"actuaciones" sobre conjuntos tanto Geometría, Algebra,Análisis,
Topología, Grupos,Probabilidad, Teoria de Números, Matemática
Discreta,Lógica,etc.
V.
Bibliografía:
-
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