TEORÍA DE CONJUNTOS
I. RESUMEN:
un conjunto es un grupo de elementos u
objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si
cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los
conjuntos, se usan letras mayúsculas.
Existen cuatro
formas de enunciar a los conjuntos:
1) Por extensión
o enumeración:
Los elementos son encerrados entre llaves y
separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus
elementos entre llaves.
2) Por comprensión:
Los elementos se determinan a través de una
condición que se establece entre llaves.
3) Diagramas
de Venn:
Son regiones cerradas que sirven para
visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.
4) Por descripción
verbal:
Es un enunciado que describe la
característica que es común para los elementos.
Ejemplo.
Dada la descripción verbal “el conjunto de
las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de
Venn.
Solución.
Por extensión: V = {a, e, i, o, u}
Por comprensión: V = {x /x es una vocal}
Por diagrama de Venn:
II. UNIVERSO
VOCABULAR:
Ø TEORÍA DE CONJUNTOS:
Es
una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos:
colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los
conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.
Ø CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS:
§ conjunto
vacío o nulo es aquel que no posee elementos.
§ conjunto
universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración.
§ conjunto
finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.
§ conjunto
infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados.
§ Dos
conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.
§ Dos
conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento.
§ Dos
conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos.
Ø OPERACIONES CON CONJUNTOS:
§ La
unión de los conjuntos A y B.
§ La
intersección de los conjuntos A y B.
§ El complemento
del conjunto A con respecto al conjunto universal U.
§ La
diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden).
III. ORGANIZACIÓN DE
IDEAS:
La teoría de conjuntos también abarca propiedades, para
la resolución de ejercicios, tenemos las
siguientes:
Estas propiedades presentadas anteriormente las podemos
aplicarlas al momento de desarrollar ejercicios sobre conjuntos, la cual nos
facilitará la resolución de dicho problema planteado.
IV. FUNDAMENTACIÓN:
Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.
La cardinalidad de un conjunto se define como el número
de elementos que posee. Se denota por medio de los símbolos n o n .
Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los
elementos bajo consideración. Se denota por U. Gráficamente se le representará
mediante un rectángulo.
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos
los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota
como A∪ B.
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto
universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se
denota como A’.
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el
conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota
como A- B.
De acuerdo con las definiciones de unión, complemento y
diferencia, se puede establecer que sus respectivas cardinalidades se pueden
obtener a través de:
n(A ∪ B) = n(A)+ n(B)-
n(A ∩ B)
n(A’)
= n(U)- n(A)
n(A -
B) = n(A)- n(A ∩
B)
V. JUICIO CRITCO:
La
teoría de conjuntos, trae consigo una serie de formas como: conjuntos con
nombres específicos, operaciones con conjuntos, propiedades de los conjuntos,
leyes
de d’morgan, producto cartesiano de dos conjuntos y su gráfica, las cuales
podemos emplear para dar solución a determinados problemas y así facilitar la
enseñanza-aprendizaje de los estudiantes.
Para
desarrollar ejercicios sobre estos temas, como es la teoría de conjuntos
tenemos que relacionar a los elementos con objetos que utilicen en situaciones
contextualizadas de los estudiantes.
VI. CONCLUSIONES:
Este
autor nos plantea parte de la solución:
a las leyes d’ Morgan
Estas leyes establecen los complementos de la
unión e intersección entre conjuntos:
Primera ley. El
complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.
(A ∪ B)' = A'∩B'
Segunda ley. El
complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus
complementos:
(A ∩ B)' = A'∪B'
Estas leyes nos facilitan el desarrollo de
diferentes ejercicios que estén relacionados al establecer la unión e
intersección de conjuntos.
Otra forma de desarrollar dichos conjuntos es
aplicando el producto cartesiano de dos conjuntos y su gráfica, ya que es uno
de los principios básicos para hacer un análisis matemático es el concepto de
parejas ordenadas: dos objetos, personas, símbolos o cosas mencionados en un
orden definido por su posición, es decir, primero uno y luego el otro. La
primera componente separada por una coma de la segunda componente, por ejemplo:(x, y).
Un
sistema de ejes coordenados se construye haciendo que dos líneas rectas se
corten perpendicularmente en un punto llamado origen, quedando el plano dividido
en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Al eje horizontal se le conoce como eje
x, y al eje vertical como eje y. Dado que el conjunto R x R son todas las parejas ordenadas (x, y) de un plano cartesiano.
VIII. REFERENCIAS:
Solórzano de la Cruz, Máximo. (1998).
Matemática moderna I, Lima. Editorial Universo. Pág. 1- 28.
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