TEORÍA DE CONJUNTOS
I.
Resumen:
El desarrollo
histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg
Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas
«puras» del infinito en la segunda mitad del siglo
XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento
de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob
Frege, propició los trabajos de Bertrand
Russell, Ernst Zermelo, Abraham
Fraenkel y otros a
principios del siglo
XX.
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del
lenguaje matemático en ella ayudaremos que los niños puedan agrupar objetos de
su entorno y puedan llegar a resolver problemas con conjuntos.
II.
Fundamentación:
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TEORÍA DE CONJUNTOS
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DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
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Un conjunto es la
reunión, grupo de elementos u objetos bien definidos y diferenciables entre sí,
que se llaman elementos del mismo y de los cuales se puede afirmar con certeza si pertenece
o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.
·
Cuando un elemento “x” pertenece a un conjunto “A” se expresa de forma
simbólica como: x ∈ A
·
En el caso de que un elemento “y” no pertenezca a este mismo conjunto se
utiliza la notación: y ∉ A
Existen cuatro formas de enunciar a
los conjuntos:
1) Por extensión o enumeración:
Los elementos son encerrados entre
llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos
sus elementos entre llaves.
2) Por comprensión:
Los elementos se determinan a través
de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el
símbolo “/” que significa “tal que". En forma simbólica es:
A = {x P(x)
}= {x1, x2, x,3, ⋅⋅⋅ ,xn }
3) Diagramas de Venn:
Son regiones cerradas que sirven
para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.
4) Por descripción verbal:
Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.
La cardinalidad de un conjunto se
define como el número de elementos que posee. Se denota por medio de los
símbolos η o #.
De los conjuntos anteriores: η (V) = 5, η(F ) = 3 , η(P) = 9 y η(S ) = 2
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CONJUNTOS CON NOMBRES
ESPECÍFICOS
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• Un conjunto vacío o nulo:
Es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por { }. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que
es subconjunto de cualquier conjunto.
• Un
conjunto universal
Es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se
denota por U. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.
• Un conjunto finito:
Es aquel cuyos elementos pueden ser
contados.
• Un conjunto infinito:
Es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su
cardinalidad no está definida.
• Dos conjuntos son iguales:
Si tienen exactamente los mismos
elementos. Se denota por el símbolo =.
• Dos conjuntos son desiguales:
Si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente
los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠.
• Dos conjuntos son equivalentes:
Si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma
cardinalidad. Se denota por el símbolo ≈.
Cuando los conjuntos son
equivalentes existe una correspondencia uno a uno o biunívoca. Esto significa que
se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del primer conjunto
con un único elemento del segundo conjunto sin que sobren elementos en ningún
conjunto.
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OPERACIONES CON CONJUNTOS
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• La unión de los conjuntos A y B es
el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin
repetir ninguno y se denota como A∪ B.
Esto es: A∪ B = {x / x ∈ A o x ∈ B}
• La intersección de los conjuntos A
y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota
como A∩ B.
Esto es: A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B}
• El complemento del conjunto A con respecto
al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están
en A y se denota como A´.
Esto es: A´ = {x ∈U x∉ A}
• La diferencia de los conjuntos A y
B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen
a B y se denota como A− B.
Esto es: A − B = {x / x ∈ A y x ∉ B}
·
Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes expresiones:
ü
A − B = A ∩ 'B
ü
A − B = φ, sí y sólo sí : A ⊂ B
ü
A − B = B − ,A sí y sólo sí : A = B
ü
A − B = ,A sí y sólo sí : A∩ B = φ
ü
(A − B) ⊂ A
ü
A − φ = A
ü
A − B = B'−A'
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PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
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Sean los conjuntos, A, B, C dentro
del universo U. Las seis propiedades que rigen las operaciones con esos
conjuntos son las siguientes:
PROPIEDADES
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UNION
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INTERSECCION
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Idempotencia
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A È A = A
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A Ç A = A
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Conmutativa
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A È B = B È A
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A Ç B = B Ç A
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Asociativa
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A È ( B È C ) = ( A È B ) È C
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A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C
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Identidad
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A∪ φ = A / A∪U = U
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A∩U = A / A∩φ = φ
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Distributiva
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A È ( B Ç C ) = ( A È B )
Ç ( A È C )
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A Ç ( B È C ) = ( A Ç B )
È ( A Ç C )
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Complementariedad
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A È A' = U
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A Ç A' = Æ
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LEYES DE D´MORGAN
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Estas leyes establecen los
complementos de la unión e intersección entre conjuntos:
·
Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la
intersección de sus complementos.
(A ∪ B)' = 'A ∩ 'B
·
Segunda ley. El complemento de la intersección de dos conjuntos es la
unión de sus complementos:
(A ∩ B)' = 'A ∪ 'B
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PRODUCTO CARTESIANNO DE DOS CONJUNTOS Y
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Uno de los principios básicos para
hacer un análisis matemático es el concepto de parejas ordenadas:
Dos objetos, personas, símbolos o
cosas mencionados en un orden definido por su posición, es decir, primero uno y
luego el otro. Si este orden cambiara, es decir, primero el otro y luego el
uno, se tendrá como resultado una nueva pareja ordenada y diferente a la
inicialmente considerada.
La simbología matemática que se utiliza para
representar una pareja ordenada es escribir dentro de un paréntesis, la primera
componente separada por una coma de la segunda componente, por ejemplo:
(y, x) es la pareja ordenada, en donde “x” es la primera componente y “y”
es la segunda componente.
El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares ordenados que se
forman eligiendo como primera componente a un elemento que pertenezca a A, y
como segunda componente a un elemento que pertenezca a B.
El producto cartesiano se denota de
la siguiente forma: A× B y se lee “A cruz B”.
A× B = {(y,
x) x∈ A y y ∈ B }
La definición anterior expresa que
el producto cartesiano de los conjuntos A y B, son la parejas ordenadas (y, x)
tal que “x” pertenece al conjunto A y “y” pertenece al conjunto B.
Un sistema de dos ejes coordenados o
plano cartesiano, se define como el conjunto de todas las parejas ordenadas de
números reales, que corresponden en sí al producto cartesiano R x R.
Un sistema de ejes coordenados se
construye haciendo que dos líneas rectas se corten perpendicularmente en un
punto llamado origen, quedando el plano dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes.
Al eje horizontal se le conoce como eje x y al eje vertical como eje y.
III.
Organización de ideas:
I.
Juicio crítico:
Cuando nos referimos a conjuntos pensamos rápidamente en la unión,
agrupación de objetos con características iguales.
Un conjunto nos ayudara a separar unos objetos de otros y a comparar
similitudes y diferencias.
Es necesario que un niño tenga la idea de un conjunto para que este
pueda realizar operaciones con conjuntos y pueda también llegar a ubicarlos en
el plano cartesiano.
II.
Conclusiones
·
Un conjunto es la reunión, grupo de elementos u
objetos bien definidos y diferenciables entre sí.
·
La palabra conjunto generalmente la
asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de
libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño,
piara, parcelas, campesinado, familia, etc.
·
En matemáticas el concepto de
conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que
se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo
puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.
ANEXOS
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