TEORÍA DE CONJUNTOS

TEORÍA DE CONJUNTOS

I. RESUMEN

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Podemos entender por conjunto a la agrupación, asociación, colección, reunión, unión de integrantes homogéneos y heterogéneos, los cuales pueden ser naturaleza real o imaginaria. En conclusión pueden estar integrados por letras, números, meses de un año, astros, países mares etc., a los integrantes en general se les llama elementos del conjunto. Cuando un elemento de un conjunto pertenece a dicho conjunto se expresa con el símbolo ∈ y cuando un elemento no pertenece al mismo conjunto se representa con el símbolo  ∉ de no pertenencia. “Los elementos siempre se separan por comas o puntos y comas, y son encerrados entre llaves ({ }). Los conjuntos siempre se denotan o son representados por letras Mayúsculas como A, B, C, D…”

Si en un conjunto se repite el mismo elemento se considera solo una vez.

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:

1) Por  extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre  llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves. 

2) Por  comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo / que significa “tal que". En forma simbólica es:

3)  Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar  el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.

II. UNIVERSO VOCABULAR

Conjunto: Es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa:  personas,  números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Diagrama: Un diagrama o gráfico es un tipo de esquema de información que representa datos numéricos tabulados.

Producto cartesiano: Es una relación de orden que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

Gráfico: Son las denominaciones de la representación de datos, generalmente  numéricos, mediante recursos gráficos  (líneas,  vectores,  superficies  o  símbolos)  para que se manifieste visualmente la relación matemática o correlación estadística que guardan entre sí. También es el nombre de un conjunto de puntos que se plasman en coordenadas cartesianas y sirven para analizar el comportamiento de un proceso o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno.

Ejes: Que viene del latín (axis o axe) posee múltiples usos, definiciones y aplicaciones. En sus orígenes representaba la barra que unía las ruedas de las carretas y, más adelante, la línea imaginaria que cruza el planeta Tierra de polo a polo.

Sistema: Un sistema (del latín systēma, proveniente del griego σύστημα) es un objeto complejo cuyos componentes se relacionan con al menos algún otro componente; puede ser material o conceptual.

Cuadrante: El cuadrante es un antiguo instrumento utilizado para medir ángulos en astronomía y navegación. Se le llama así porque consiste en una placa metálica con forma de cuarto de círculo. 

IV. FUNDAMENTACIÓN

CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

Ø  Un conjunto  vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por  { }. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos.

{ }= { x /x son los hombres mayores de 300 años}

Ø  Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

Ejemplos.

U = { x/ x son los días de la semana }= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

Ø  Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

Ejemplos.

J = { x /x es el número de un día del mes de junio }

Ø  Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida.

Ejemplos.

Q = { x /x es la cantidad de puntos en una línea }

Ø  Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo  =.

Ejemplo.

R = {1, 2,3, 4, 5,6,7,8,9,0}

S = { x /x es un dígito }

R = S

Ø  Dos conjuntos son  desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo  ≠.

D = {x/ x ² =9}

E = {− 2,2}

D ≠ E

Ø  Dos conjuntos son  equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad. Se denota por el símbolo  ≈.

Ejemplos.

W = {x /x son las estaciones del año}

Z = {x /x es un punto cardinal}

η (W ) = 4

η(Z) = 4

W ≈ Z

Cuando los conjuntos son equivalentes existe una correspondencia uno a uno o biunívoca.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

Sean los conjuntos, A, B , C dentro del universo U . Las seis propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las siguientes:

1. Propiedades de identidad:

A∪ φ = A

A∪U = U

A∩U = A

A∩φ = φ

2. Propiedades de idempotencia:

A∪ A = A

A∩ A = A

3. Propiedades de complemento:

A∪ 'A = U

A∩ 'A = φ

4. Propiedades asociativas:

(A∪ B)∪C = A∪ (B ∪C)

(A∩ B)∩C = A∩ (B ∩C)

5. Propiedades conmutativas

A∪ B = B ∪ A

A∩ B = B ∩ A

6. Propiedades distributivas

A∪ (B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)

A∩(B ∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)Facultad de Contad

LEYES DE D’MORGAN

Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:

Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.

(A ∪ B)' = 'A ∩ 'B

V. JUICIO CRÍTICO

La teoría de conjuntos es un tema de suma importancia en el estudio de las matemáticas porque estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones, etc. Los conjuntos y sus operaciones  es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático, su principal finalidad es que puedan resolver problemas y aplicar los conceptos y habilidades matemáticas para desenvolverse en la vida cotidiana. Esto es importante en el caso de los niños con dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. La teoría de conjuntos es crucial para las matemáticas pues casi todos los objetos que estudia son conjuntos o elementos de ellos.

VI. CONCLUSIONES

Ø  La teoría de conjuntos es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. 

Ø  Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.

Ø  Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.

Ø  La teoría de conjuntos es parte ineludible en la matemática de hoy y puede ser usada como base para casi cualquier concepto matemático actual.

Ø  Una de las herramientas principales para enseñar conjuntos son los diagramas de Venn más que nada por su utilidad visual.

Ø  La teoría de conjuntos es fundamental en el estudio de las matemáticas.

VII. REFERENCIAS

Ø  http://www.fca.unam.mx

VIII. ANEXOS